상계(supremum)와 하계(infimum)의 여러 가지 성질을 알아보고, 단조 성질(monotone property)을 증명해보자.

(Theorem) (최소 상계에 대한 근삿값 정리) $E\subset \mathbb{R}$이라 하고 $\varepsilon>0$이라 하자. 그러면 다음이 성립한다: (1) $E$가 유한한 최소 상계 $\sup E$를 갖는다면 $\sup E-\varepsilon<a\le\sup E$를 만족하는 $a \in E$가 존재한다. (2) $E$가 유한한 최대 하계 $\inf E$를 갖는다면 $\inf E\le a < \inf E+\varepsilon$을 만족하는 $a \in E$가 존재한다. Proof) (1) $\varepsilon >0$이라 하고 $M=\sup E$라 하자. $M-\varepsilon$는 $E$의 상계가 아니므로 $M-\varepsilon< a$인 원소 $a\in E$가 존재한다. 그러므로 $M-\varepsilon < a \le M$이 성립한다. (2) $\varepsilon >0$이라 하고 $m=\inf E$라 하자. $m+\varepsilon$는 $E$의 하계가 아니므로 $m+\varepsilon>a$인 원소 $a\in E$가 존재한다. 그러므로 $m+\varepsilon > a \ge m$이 성립한다. ■

(Theorem) $E\in\mathbb{Z}$가 최소 상계를 갖는다면 $\sup E\in E$이다. 즉 임의의 정수 집합 $E$에 최소 상계가 존재한다면 그 값은 반드시 정수이며 $E$에 포함된다. Proof) 유한한 최소 상계를 갖는 정수의 부분집합 $E$에 대하여 $s=\sup E$라 놓으면 최소 상계에 대한 근삿값 정리에 의해 $s-1<x_0\le s$인 $x_0\in E$가 존재한다. 만약 $x_0=s$이면 $s\in E$이다. 만약 $x_0\ne s$이면 $s-1<x_0< s$인 상황에서 다시 한 번 근삿값 정리를 적용하면 $x_0<x_1 <s$인 $x_1\in E$를 잡을 수 있다. (왜냐하면 $x_1=s$이면 $x_0, s\in E$이어야 하는데, $s-x_0<1$이므로 이는 $E$가 정수의 부분집합이라는 가정에 모순이기 때문이다.) 이제 부등식에서 $x_0$를 빼면 $0<x_1-x_0 <s-x_0$가 되는데, $-x_0<1-s$로부터 $0<x_1-x_0 <s+(1-s)=1$을 얻게 된다. 따라서 $x_1-x_0\in\mathbb{Z}\cap(0,1)$이어야하는데, $\mathbb{Z}\cap(0,1)=\emptyset$이므로 이러한 상황은 불가능하다. 따라서 $x_0=s$이고 $s\in E$인 상황만이 가능하다. ■

(Theorem) (반사 성질) 공집합이 아닌 $S\supseteq\mathbb{R}$에 대하여 $S$에 대한 반사(reflection)를 $-S={-s|s\in S}$로 정의하면

$$ \sup(-S)=-\inf S,,\quad \inf(-S)=-\sup S $$

이 성립한다. Proof) $\alpha=\sup (-S)$라 놓자. 그러면 임의의 $s\in S$에 대하여 $-s\le \alpha$이므로 $-\alpha$는 $S$의 하계이다. 한편 $u$를 $S$의 하계라 하면 $u\le s$이므로 $-s\le -u$가 되어 $-u$는 $-S$의 상계이므로 $\alpha \le -u$이어야 한다. 즉, $u \le -\alpha$이다. 따라서 $-\alpha$는 $S$의 최소 하계 $\inf S$이다. 그러므로 $\alpha = -\inf S$이다. 마찬가지로, $\beta = \inf(-S)$라 놓자. 그러면 임의의 $s\in S$에 대하여 $\beta \le -s$이므로 $-\beta$는 $S$의 상계이다. 한편 $v$를 $S$의 상계라 하면 $s\le v$이므로 $-v\le -s$가 되어 $-v$는 $-S$의 하계이므로 $-v\le\beta$이어야 한다. 즉, $-\beta \le v$이다. 따라서 $-\beta$는 $S$의 최소 상계 $\sup S$이다. 그러므로 $\beta = -\sup S$이다. ■

(Lemma) 실수 $\mathbb{R}$의 부분집합 $A$와 $B$에 대하여 집합 $A+B$와 $A-B$를 각각 $A+B={a+b|a\in A, b\in B}$, $A-B={a-b|a\in A, b\in B}$로 정의하면 다음이 성립한다: (1) $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$, (2) $\sup(A-B)=\sup A-\inf B$. Proof) (1) $a\in A$, $b\in B$에 대하여 $a+b\in A+B$이다. 따라서 $a+b\le\sup(A+B)$이다. 여기서 $a\le \sup(A+B)-b$이므로 $\sup(A+B)-b$는 $A$의 상계가 되어 $\sup A\le\sup(A+B)-b$이고, $b\le \sup(A+B)-\sup A$이므로 $\sup(A+B)-\sup A$는 $B$의 상계가 되어 $\sup B\le \sup(A+B)-\sup A$, 즉 $\sup A+\sup B\le\sup(A+B)$를 얻는다. 한편 $a\le\sup A$, $b\le\sup B$로부터 $a+b\le\sup A+\sup B$이고, 따라서 $\sup A+\sup B$는 $A+B$의 상계가 되어 $\sup(A+B)\le\sup A+\sup B$를 얻는다. 그러므로 $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$이다. (2) (1)로부터 $\sup(A-B) = \sup A+\sup(-B)=\sup A-\inf B$이다. ■

cf. 함수 집합에서 이와 유사한 다음과 같은 성질이 있다: $f$와 $g$가 유계인 함수라 하자. 즉, 임의의 $M\in\mathbb{R}$과 $x\in E\subseteq \mathbb{R}$에 대하여 $|f(x)|<M$이다. 그러면 모든 $x\in E$에 대하여 $\sup(f(x)+g(x))\le \sup f(x) + \sup g(x)$ 및 $\inf(f(x)+g(x))\ge \inf f(x) + \inf g(x)$가 성립한다.

(Lemma) $A$와 $B$가 양의 실수만으로 이루어진 집합이고, $AB = {ab|a\in A, b\in B}$라 정의하면

$$ \sup AB = \sup A \sup B $$

가 성립한다. Proof) $a\in A$이고 $b\in B$이면 $ab\in AB$이므로 $ab\le \sup AB$이다. 따라서 $a\le\frac{1}{b}\sup AB$이므로 $\frac{1}{b}\sup AB$는 $A$의 상계가 되어 $\sup A\le\frac{1}{b}\sup AB$이고, $b\le\frac{1}{\sup A}\sup AB$이므로 $\frac{1}{\sup A}\sup AB$는 $B$의 상계가 되어 $\sup B\le\frac{1}{\sup A}\sup AB$, 즉 $\sup A\sup B\le \sup AB$를 얻는다. 한편 $a\le \sup A$, $b\le \sup B$로부터 $ab\le\sup A\sup B$이므로 $\sup A\sup B$는 $AB$의 상계가 되어 $\sup AB \le\sup A\sup B$를 얻는다. 그러므로 $\sup AB = \sup A \sup B$이다. ■

집합이 양수들만으로 이루어져있지 않다면 위의 정리는 성립하지 않는다. 이를테면 $A=[-2,1]$, $B=[-2,1]$이면 $AB=[-2,4]$이므로 $\sup A \sup B=1$이지만 $\sup AB=4$이다.

한편 집합의 반사(reflection)를 이용하여 최소 상계 성질의 반대인 최대 하계 성질을 증명할 수 있다:

(Theorem) (최대 하계 성질) 실수의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 하계(lower bound)를 가지면 반드시 실수인 최대 하계(infimum)를 갖는다. Proof) 공집합이 아닌 실수의 부분 집합 $S$가 하계 $m$을 갖는다고 하자. 즉 모든 $s\in S$에 대하여 $m\le s$이고, 따라서 $-s\le -m$이다. 즉 $-S$는 공집합이 아니며 상계 $-m$을 가지므로 최소 상계 성질에 의해 $\sup(-S)=\alpha$가 존재해야 한다. 즉 $-s\le\alpha$이므로 $-\alpha\le s$가 되어 $-\alpha$는 $S$의 하계이다. 또한 $\alpha\le -m$에서 $m\le -\alpha$이므로 $-\alpha$는 $S$의 최대 하계이다. ■

(Theorem) (단조 성질) 두 집합 $A, B\in \mathbb{R}$가 공집합이 아니며 $A\subseteq B$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다: (1) $B$가 최소 상계를 가지면 A도 최소 상계를 가지며 $\sup A \le \sup B$이다. (2) $B$가 최대 하계를 가지면 A도 최대 하계를 가지며 $\inf B \le \inf A$이다. Proof) (1) $A\subseteq B$이므로 $B$의 임의의 상계는 $A$의 상계가 된다. 따라서 $\sup B$가 존재하면 그것이 $A$의 상계가 된다. 그러므로 최소 상계 성질에 의해 $\sup A$가 존재해야하며 $\sup A\le\sup B$이다. (2) $A\subseteq B$이므로 $B$의 임의의 하계는 $A$의 하계가 된다. 따라서 $\inf B$가 존재하면 그것이 $A$의 하계가 된다. 그러므로 최대 하계 성질에 의해 $\inf A$가 존재해야하며 $\inf B\le \inf A$이다. ■

(Lemma) (1) $x$가 집합 $E\subset\mathbb{R}$의 유계이고 $x\in E$이면 $x$는 $E$의 최소 상계이다. (2) 실수의 부분 집합 $E$가 $E=A\cup B$이다. $E$가 최소 상계 $\sup E$를 가지며 $A$와 $B$가 공집합이 아니면 $\sup A$와 $\sup B$가 존재하며, $\sup E$는 $\sup A$와 $\sup B$ 둘 중 하나와 같다. Proof) (1) $x$가 $E$의 유계이고 $x\in E$라 하자. 그러면 $E$의 임의의 유계 $m$에 대하여 $x\le m$이다. 따라서 정의에 의하여 $x=\sup E$이다. (2) $A\subseteq E$이므로 $E$의 임의의 상계는 $A$의 상계이다. $A$가 공집합이 아니고 상계를 가지므로 $A$의 최소 상계 $\sup A$가 존재한다. 마찬가지로 $\sup B$가 존재한다. $m=\max{\sup A,\sup B}$라 놓으면 $x\in E$일 때 $x\le m$이다. 그러면 $m$은 $A$와 $B$의 유계이므로 $E$의 유계가 되어 $m\le\sup E$이다. 만약 $m<\sup E$이면 최소 상계의 근삿값 정리에 의해 $m<m'\le\sup E$를 만족하는 $m'\in E$가 존재해야한다. 그러면 $m'\in A$ 또는 $m'\in B$인데, 이것은 $m'$가 $A$ 또는 $B$의 유계라는 사실에 모순이다. ■

$$ \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$

이다. Proof) $t$가 $t_0$에서 $t_0+\Delta t$로 변화할 때의 변화량들을 각각 $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta f$라 하자. $f$가 $P_0=(x(t_0), y(t_0))$에서 미분 가능하므로

$$ \Delta f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){P_0}\Delta x + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){P_0}\Delta y+ \varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y $$

이고, 이때 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rightarrow 0$이다. 이제 양변을 $\Delta t$로 나누면

$$ \frac{\Delta f}{\Delta t} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){P_0}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){P_0}\frac{\Delta y}{\Delta t} + \varepsilon_1\frac{\Delta x}{\Delta t} + \varepsilon_2\frac{\Delta y}{\Delta t} $$

인데, 여기서 $\Delta t\rightarrow 0$이면

$$ \left(\frac{df}{dt}\right){t_0} =\lim{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta t} =\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){P_0} \left(\frac{dx}{dt}\right){t_0} +\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){P_0} \left(\frac{dy}{dt}\right){t_0} $$

을 얻는다. 이때 $\Delta t\rightarrow 0$이면 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$이므로 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rightarrow 0$임을 이용했다. ■

이것은 고차원으로도 확장할 수 있다. 즉, $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$이 미분 가능하고 $x_1=x_1(t)$, $x_2=x_2(t)$, $\cdots$, $x_n=x_n(t)$가 $t$에 대하여 미분 가능하면 합성 함수 $f=f(x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n)$은 $t$에 대하여 미분 가능하며

$$ \frac{df}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt} +\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dt} +\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{dx_n}{dt} =\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt} $$

이다.

1차원 함수에서 함수 $y=f(x)$가 불연속이거나 특정한 점 $x_0$ 근처에서 함수의 모양이 뾰족할 경우 미분이 가능하지 않았다. 다시 말해서 1차원 함수를 무한히 확대했을 때 함수의 그래프가 일직선에 무한히 가깝게 되는 경우를 미분 가능하다고 했던 것이다. 2차원 함수 $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$에서도 유사한 성질이 필요한데, 특정한 점 $(x_0, y_0)$ 근처에서의 약간의 변화가 급작스러운 변화를 일으키지 않아야 "미분이 가능하다"는 취지에 부합할 것이다. 이를 기하학적으로 표현하면 함수를 $(x_0, y_0)$ 근처로 무한히 확대했을 때 함수의 그래프 $z=f(x,y)$가 평면에 무한히 가깝게 되는 경우를 미분 가능하다고 할 수 있을 것이다. 이러한 평면을 "접평면(tangent plane)"이라 부른다. 나중에 보이겠지만, $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$가 미분 가능할 때, 그래프 $z=f(x,y)$의 $(x_0, y_0)$에서의 접평면은

$$ z = f(x_0, y_0)+f_x(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y(x_0, y_0)(y-y_0) $$

와 같이 주어진다.

1차원 함수에서 $y=f(x)$가 $x=x_0$에서 미분 가능하다면 $x$가 $x_0$에서 $x_0+\Delta x$까지 변화하는 동안 대응되는 $y$의 변화 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$는 $\Delta x$가 작을 수록 접선 위에서의 선형 근사 $\Delta L =f'(x_0)\Delta x$에 가까워진다. 다시 말해서, 두 양의 차이

$$\begin{aligned} \text{error} &= \Delta y - \Delta L\ &= f(x_0+\Delta x)-f(x_0) - f'(x_0)\Delta x\ &= \left(\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-f'(x_0)\right)\Delta x =\varepsilon\Delta x \end{aligned}$$

에서, $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\varepsilon\rightarrow 0$이다. 즉, $y=f(x)$가 $x=x_0$에서 미분 가능하다면 $x$가 $x_0$에서 $x_0+\Delta x$까지 변화하는 동안 대응되는 $y$의 변화 $\Delta y$는

$$ \Delta y = f'(x_0)\Delta x+\varepsilon\Delta x $$

로 주어지며, 여기서 $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\varepsilon\rightarrow 0$이다.

이 결과를 2차원으로 확장하면 2차원에서의 미분 가능성을 정의할 수 있다.

(Definition) 함수 $z=f(x,y)$에 대하여 점 $(x_0, y_0)$에서의 편미분 $f_x(x_0, y_0)$와 $f_y(x_0, y_0)$가 존재하고 순간 변화 $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)$가

$$ \Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta x + \varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y $$

로 표현되며 이때 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2\rightarrow 0$일 때, $f(x,y)$는 $(x_0, y_0)$에서 "미분 가능하다"라고 한다.

앞의 글에서 함수 $f(x,y)$가 $(x_0, y_0)$에서 연속이 되는 의미를 정의했다. 이제 위 정의로부터 바로 다음 결과를 얻는다.

(Theorem) 함수 $f(x,y)$가 $(x_0, y_0)$에서 미분 가능하면 $(x_0, y_0)$에서 연속이다. Proof) 미분 가능성의 정의로부터 자명하다. ■

한편, 함수 $f(x,y)$가 연속이고 $f_x$ 및 $f_y$가 열린 공간에서 연속이면 $f(x,y)$는 열린 공간에서 미분 가능하다. 즉 미분 가능이 되기 위한 필요 충분 조건은 각 편미분이 연속이어야 된다는 것이다:

(Theorem) (증가 정리) 점 $(x_0, y_0)$을 포함하는 열린 공간 $R$에 대하여 함수 $f(x,y)$의 편미분 $f_x$, $f_y$가 $R$에서 정의되고 $f_x$, $f_y$가 $(x_0, y_0)$에서 연속이면 변화 $\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)$는

$$ \Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta x + \varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y $$

으로 나타낼 수 있으며, 이때 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2\rightarrow 0$이다. Proof) 점 $A(x_0, y_0)$를 중심으로 하는 직사각형 영역 $T\subset R$를 생각하자. $\Delta x$, $\Delta y$가 충분히 작아서 $B(x_0+\Delta x,y_0)$와 $C(x_0,y_0+\Delta y)$가 모두 $T$ 안에 있다고 하자. 그러면 $\Delta z$는

$$\begin{aligned} \Delta z &= f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)\ &= f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x, y_0)+f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)\ &= \Delta z_2 + \Delta z_1 \end{aligned}$$

로 쓸 수 있다. 여기서 $\Delta z_1=f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)$, $\Delta z_2=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x, y_0)$이다. 이때 구간 $[x_0, x_0+\Delta x]$에서 $F(x)=f(x,y_0)$는 $x$에 대하여 미분 가능하며, 따라서 중간값 정리에 의해

$$\begin{aligned} & F(x_0+\Delta x)-F(x_0)=F'(c)\Delta x\ & \Rightarrow f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=f_x(c,y_0)\Delta x \end{aligned}$$

를 만족하는 $c$가 $x_0$와 $x_0+\Delta x$ 사이에 존재한다. 마찬가지로, 구간 $[y_0, y_0+\Delta y]$에서 정의된 함수 $G(y)=f(x_0+\Delta x,y)$는 $y$에 대하여 미분 가능하며,

$$ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta x)=f_y(x_0+\Delta x,d)\Delta y $$

를 만족하는 $d$가 $y_0$와 $y_0+\Delta y$ 사이에 존재한다. 여기서 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$이면 $c\rightarrow x_0$, $d\rightarrow y_0$이다. 한편 $f_x$와 $f_y$가 $(x_0, y_0)$에서 연속이므로 두 값

$$\begin{aligned} \varepsilon_1 &= f_x(c, y_0)-f_x(x_0,y_0),,\ \varepsilon_2 &= f_y(x_0+\Delta x, d)-f_x(x_0+\Delta x,y_0) \end{aligned}$$

은 모두 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$일 때 각각 $0$으로 수렴한다. 그러므로

$$\begin{aligned} \Delta z &= f_x(c, y_0)\Delta x+f_x(x_0+\Delta x, d)\Delta y\ &= [f_x(x_0, y_0)+\varepsilon_1]\Delta x+[f_y(x_0, y_0)+\varepsilon_2]\Delta y\ &= f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y \end{aligned}$$

이며, 이때 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2\rightarrow 0$이다. ■

이와 같은 결과는 고차원으로도 확장할 수 있다. 만약 3차원에서 정의된 함수 $w=f(x,y,z)$에 대하여 편미분 $f_x$, $f_y$, $f_z$가 점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 존재하고 각각 $(x_0, y_0, z_0)$에서 연속이면 함수 $w$의 순간 변화 $\Delta w=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)-f(x_0, y_0, z_0)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$\begin{aligned} \Delta w =&,\frac{\partial f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial f(x_0, y_0, z_0)}{\partial y}\Delta y +\frac{\partial f(x_0, y_0, z_0)}{\partial z}\Delta z\ &\quad+\varepsilon_1\Delta x +\varepsilon_2\Delta y +\varepsilon_3\Delta z \end{aligned}$$

이때 $\Delta x, \Delta y, \Delta z\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\rightarrow 0$이다.

이를테면, 전하 $q$가 원점에 있을 때, 전기 퍼텐셜은

$$ V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} $$

로 주어진다.

이 전하가 그림과 같이 원점으로부터 $y$축에 대하여 $\vec{d}$($r\gg d$)만큼 이동한다면 전기 퍼텐셜은 다음과 같이 바뀌게 된다:

$$\begin{aligned} V(\vec{r}) &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\eta} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{d}|}\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{r^2+d^2-2rd\cos\theta}}\ &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} -\frac{d\cos\theta}{r^2} -\frac{d^2}{2r^3} (3\cos^2\theta-1)+\cdots \right)\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\vec{d}\cdot\hat{r}}{r^2} +\cdots \end{aligned}$$

이와 같이 전하 분포에서 원점의 변경은 전개 자체에 영향을 미친다. 이때 전체 전개의 첫 번째 항인 단극항(monopole term)은 그 형태가 변하지 않으며, 원점이 변하면 단극항 뒤의 전개가 변하게 됨을 알 수 있다.

따라서 일반적으로 임의의 전하 분포에서 전개의 두 번째 항인 쌍극자항(dipole term) 이상의 한들은 원점이 어디냐에 따라 그 형태가 달라져야 한다. 그러나 항상 그런 것은 아닌데, 만약 계의 총전하가 $0$이라면 쌍극자 모멘트는 원점의 위치에 의존하지 않게 된다. 이를 직접 확인해보자.

임의의 전하 분포에 대하여 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 주어진다:

$$ \vec{p} = \int \vec{r}'\rho(\vec{r}')d\tau',. $$

여기서 만약 그림과 같이 원점의 위치가 $\vec{a}$ 만큼 이동한다면, 각 미소 부피 $d\tau'$의 위치가 $\vec{r}'$에서 $\vec{r}'-\vec{a}$로 이동하게 되므로 새로운 $\bar{x}\bar{y}$-좌표계에서의 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 된다:

$$\begin{aligned} \vec{p}' &= \int (\vec{r}'-\vec{a})\rho(\vec{r}')d\tau'\ &= \int \vec{r}'\rho(\vec{r}')d\tau' -\vec{a}\int\rho(\vec{r}')d\tau'\ &= \int \vec{r}'\rho(\vec{r}')d\tau' -Q\vec{a} =\vec{p}-Q\vec{a},. \end{aligned}$$

여기서 $Q$는 전하 분포의 총 전하량이다. 따라서 계의 총전하가 $Q=0$이라면 $\vec{p}'=\vec{p}$가 되므로 전기 쌍극자 모멘트는 좌표계의 원점에 의존하지 않게 된다.

(Definition) $\mathbb{R}^2$에서 정의된 함수 $f(x,y)$가 $(x_0, y_0)$에서 실수 $L$로 수렴한다는 것은 $f$의 정의역 안에서 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여

$$ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon $$

을 만족하는 적당한 $\delta>0$가 항상 존재한다는 것을 뜻한다. 이것을 기호로는

$$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}f(x,y)=L $$

로 나타낸다.

2차원에서의 함수의 연속 역시 1차원 함수에서의 그것과 거의 유사하게 정의된다:

(Definition) 함수 $f(x,y)$가 다음 세 가지 조건

1. $f$는 $(x_0, y_0)$에서 정의된다
2. $\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}f(x,y)$가 존재한다
3. $\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$

을 만족하면 "$f$는 $(x_0, y_0)$에서 연속"이라고 한다. 함수 $f$가 정의역 전체에서 연속이면 "$f$는 연속"이다.

이제 편미분을 정의하자:

(Definition) 점 $(x_0, y_0)$에서 $f(x,y)$의 "$x$에 대한 편미분" $\partial f / \partial x$은 다음

$$ \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|{(x_0, y_0)} =\lim{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} $$

으로 정의된다. 물론 해당 극한이 존재할 때 정의된다.

위 극한이 정의되는 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다:

Ex. 다음 함수 $$ f(x,y)=\begin{cases} 0,,, xy\ne 0 \ 1,,, xy=0 \end{cases} $$ 를 생각하자. 즉, 다음 그림과 같은 상황이다. 여기서 직선 $y=x$ 위에서는 다음과 같음을 알 수 있다: $$ \left.\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}f(x,y)\right|{y=x} \lim{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}0 = 0,. $$ 그런데 $f(0,0)=1$이므로 $f$는 $(0,0)$에서 명백하게 연속이 아니다. 그러나 편미분 $\partial f / \partial x$과 $\partial f / \partial y$는 모두 $(0,0)$에서 존재한다. 우선 $(0,0)$에서 $\partial f / \partial x$을 구하기 위해 $y=0$으로 고정하자. 그러면 모든 $x$에 대하여 $f(x,0)=1$이며, 이 직선 위의 어떤 $x$에 대해서도 $\partial f / \partial x=0$이다. 특히 $(0,0)$에서 $\partial f / \partial x=0$이다. 마찬가지로 직선 $x=0$ 위에서 생각하면 $(0,0)$에서 $\partial f / \partial y=0$이다.

위의 예제에도 불구하고, 여전히 2차원 이상의 고차원에서도 "미분 가능하면 연속"이 성립한다. 그러나 고차원에서는 "미분 가능"이 다르게 정의되며, 1차원보다 더 강력한 제약 조건이 따른다. 다음 글에서 이에 대해 논의한다.

임의의 전하 분포 $\rho(\vec{r})$에 대한 위치 $\vec{r}$에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같다:

$$ V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{1}{\eta}\rho(\vec{r}')d\tau' $$

여기서 $\vec{r}'$은 미소 체적 $d\tau'$의 위치이며, $\vec{\eta}=\vec{r}-\vec{r}'$이고, $\eta=|\vec{r}-\vec{r}'|$을 뜻한다. 그러면 코사인 법칙에 의해

$$\begin{aligned} \eta^2 &= r^2 + (r')^2 - 2rr'\cos\theta'\ &= r^2\left(1+\left(\frac{r'}{r}\right)\left(\frac{r'}{r}-2\cos\theta'\right)\right) =r^2(1+\epsilon) \end{aligned}$$

이라 놓을 수 있다. 이때 $\epsilon = \left(\frac{r'}{r}\right)\left(\frac{r'}{r}-2\cos\theta'\right)$이다. 여기서 $r\gg r'$인 영역에서는 $|\epsilon|\ll 1$이므로 다음과 같이 전개할 수 있다:

$$\begin{aligned} \frac{1}{\eta} &= \frac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2}\ &= \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\epsilon+\frac{3}{8}\epsilon^2-\frac{5}{16}\epsilon^3+\cdots\right)\ &= \frac{1}{r}\left[ 1+\left(\frac{r'}{r}\right)\cos\theta' +\left(\frac{r'}{r}\right)^2\frac{3\cos^2\theta'-1}{2} +\left(\frac{r'}{r}\right)^3\frac{5\cos^3\theta'-3\cos\theta'}{2} +\cdots\right]\ &= \frac{1}{r}\left[ 1+\left(\frac{r'}{r}\right)P_1(\cos\theta') +\left(\frac{r'}{r}\right)^2P_2(\cos\theta') +\left(\frac{r'}{r}\right)^3P_3(\cos\theta') +\cdots\right],. \end{aligned}$$

즉, 르장드르 다항식의 전개가 된다. 이때 미소 전하 분포까지의 거리의 역수 $\frac{1}{\eta}$를 르장드르 다항식의 "생성 함수(generating function)"라고 한다. 정확히는

$$ \frac{1}{\eta} =\frac{1}{\sqrt{r^2+(r')^2-2rr'\cos\theta'}} =\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos\theta') $$

인 관계가 있다. 따라서 임의의 전하 분포에 대한 전기 퍼텐셜은

$$ V(\vec{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{1}{\eta} \rho(r')d\tau' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} \int (r')^n P_n(\cos\theta') \rho(r') d\tau' $$

과 같이 르장드르 다항식을 이용한 다중극 전개로 쓸 수 있다.

일반적으로 임의의 전하 분포에 대한 전기 퍼텐셜은 이 전개의 첫 번째 항, 즉 단극자(monopole) 항이다:

$$ V_{\text{mon}}(\vec{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \rho(r') d\tau' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r},. $$

여기서 $Q=\int \rho(r') d\tau'$는 전하 분포의 전체 기여이다. 즉 단극자항은 $r$이 클 때 점전하의 전기 퍼텐셜이다.

그러나 $Q=0$이면 그 다음항인 쌍극자(dipole) 항이 최대 기여가 된다. 쌍극자 항은 다음과 같다:

$$\begin{aligned} V_{\text{dip}}(\vec{r}) &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2} \int r' \cos\theta' \rho(r') d\tau'\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2} \int \hat{r}\cdot\ \vec{r}'\rho(r') d\tau'\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{r}}{r^2}\cdot\int \vec{r}'\rho(r') d\tau' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} \end{aligned}$$

여기서

$$ \vec{p} = \int \vec{r}'\rho(r') d\tau'=\int\vec{r}' dq' $$

는 이 전하 분포의 (전기) 쌍극자 모멘트(dipole moment)이다. 만약 전하 분포가 점전하들의 모임이라면 쌍극자 모멘트는

$$ \vec{p} = \sum_{i=1}^n q_i \vec{r}'_i $$

로 주어질 것이다. 실제 물리적 쌍극자에서는

$$ \vec{p} = q \vec{r}'{+} -q \vec{r}'{-} = q \vec{d} $$

가 되므로 쌍극자 전기 퍼텐셜은

$$ V_{\text{dip}}(\vec{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd\cos\theta}{r^2} $$

로 주어진다.

만약 쌍극자의 기여도 합마저 $0$일 경우, 해당 전하 분포의 전기 퍼텐셜에 대한 최대 기여는 다중극 전개에서 사중극자(quadrupole) 항

$$\begin{aligned} V_{\text{quad}}(\vec{r}) &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3} \int (r')^2 P_2(\cos\theta') \rho(r') d\tau'\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3} \int (r')^2 \frac{3\cos^2\theta-1}{2} \rho(r') d\tau' \end{aligned}$$

이 될 것이다.

(Theorem) 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n$은 ${a_n}$의 부분 수열이 수렴할 수 있는 가장 큰 값이고, $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n$은 ${a_n}$의 부분 수열이 수렴할 수 있는 가장 작은 값이다.

(Theorem) 임의의 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 다음이 성립한다:

$$ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n\le\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n,. $$

(Theorem) 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$이 성립하면

$$ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n\le\limsup_{n\rightarrow\infty}b_n,,\quad \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n\le\liminf_{n\rightarrow\infty}b_n $$

이 항상 성립한다.

(Theorem) 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 다음이 성립한다:

$$ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(\sup_{k\in\mathbb{N}}a_k\right),,\quad \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\inf_{k\in\mathbb{N}}a_k\right),. $$

(Theorem) 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 다음이 성립한다: (1) ${a_n}$이 위로 유계인 것과 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n<\infty$는 동치이다. (2) ${a_n}$이 아래로 유계인 것과 $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n>-\infty$는 동치이다.

(Theorem) $M,m\in\mathbb{R}$과 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 다음이 성립한다: (1) 만약 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n<M$이면, 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n<M$이다. (다시 말해서, 기껏해야 유한 개의 $a_n$만이 $M$보다 크거나 같을 수 있다.) (2) 만약 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n>m$이면, 무한히 많은 $n$에 대하여 $a_n>m$이다.

(Theorem) $M,m\in\mathbb{R}$과 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 다음이 성립한다: (1) 만약 $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n>m$이면, 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n>m$이다. (다시 말해서, 기껏해야 유한 개의 $a_n$만이 $m$보다 작거나 같을 수 있다.) (2) 만약 $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n<M$이면, 무한히 많은 $n$에 대하여 $a_n<M$이다.

일반적으로,

$$ \inf_{k\ge n}a_k \le \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n \le \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n \le \sup_{k\ge n}a_k $$

가 성립한다. 즉, 수열의 하극한과 상극한은 각각 최소, 최대의 집적점(cluster point)이다.

(Theorem) ${a_n}$이 유계인 수열이라 하자. 그러면 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $k\ge N$이면

$$ a_k-\varepsilon<\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n,,\quad \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n-\varepsilon<a_k $$

를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

(Definition) 실수에서의 수열 ${a_n}$에 대하여 ${a_n}$의 상극한은 확장된 실수 $\overline\mathbb{R}=\mathbb{R}\cup{\pm\infty}$에서 정의되는 다음 극한이다:

$$ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\ge n}a_k\right) $$

또한 ${a_n}$의 하극한은 다음을 뜻한다:

$$ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\ge n}a_k\right) $$

이 정의가 확장된 실수 $\overline\mathbb{R}=\mathbb{R}\cup{\pm\infty}$에서 성립하는 이유에 대해 살펴보자. 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 다음 두 개의 수열을 생각하자:

$$\begin{aligned} s_n &= \sup_{k\ge n}a_k = \sup{a_k|k\ge n},,\ t_n &= \inf_{k\ge n}a_k = \inf{a_k|k\ge n} \end{aligned}$$

각 $s_n$과 $t_n$은 확장된 실수이며, 단조 성질($A\subseteq B$이면 $\sup A\le\sup B$ 및 $\inf A\ge\inf B$이 성립한다)에 의해서 $s_n$은 단조 감수 수열이며 $t_n$은 단조 증가 수열이다. 따라서 만약 각각이 유계(bounded)이면 극한을 가져야 한다. 혹은 유계가 아니면 $\pm\infty$가 된다. 따라서 상극한과 하극한은 확장된 실수에서 존재한다.

(Theorem) ${a_n}$이 실수 수열이고 $r\in\overline\mathbb{R}$이라 하자. 그러면

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = r $$

은

$$ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n = \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n = r $$

과 동치이다.

Ex. $a_n=(-1)^n$일 때 이 수열의 상극한과 하극한을 구해보자. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\sup_{k\ge n}(-1)^k=1$이고 $\inf_{k\ge n}(-1)^k=-1$이다. 그러므로

$$ \limsup_{n\rightarrow\infty}(-1)^n = 1,, \liminf_{n\rightarrow\infty}(-1)^n = -1 $$

을 얻는다.

(Theorem) 실수 수열 ${a_n}$에 대하여 상극한과 하극한에 수렴하는 ${a_n}$의 부분 수열이 존재한다. 즉, $s = \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n$, $t = \liminf_{n \rightarrow \infty} a_n$에 대하여

$$ \lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_k} = s,,\quad \lim_{j\rightarrow\infty}a_{n_j} = t $$

를 만족하는 ${a_n}$의 부분 수열 ${a_{n_k}}{k\in\mathbb{N}}$과 ${a{n_j}}_{j\in\mathbb{N}}$이 존재한다.

$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|,. $$

Proof) 다음을 살펴보자:

$$\begin{aligned} |z_1+z_2|^2 &= (z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)} = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\ &= z_1\overline{z_1} +2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) +z_2\overline{z_2}\ &\le z_1\overline{z_1} +2|z_1\overline{z_2}| +z_2\overline{z_2}\ &= |z_1|^2+2|z_1||z_2|+|z_2|^2 = (|z_1|+|z_2|)^2,. \end{aligned}$$ 한편 절댓값은 음수가 아니므로 위의 전개로부터 $|z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|$을 얻는다. ■

두 복소수 대신 두 실수 $x$, $y$에 한정하는 증명 또한 유사한 방식으로 할 수 있다:

$$\begin{aligned} |x+y|^2 = (x+y)^2 &= x^2+2xy+y^2\ &= |x|^2+2xy+|y|^2\ &\le |x|^2+2|x||y|+|y|^2= (|x|+|y|)^2,. \end{aligned}$$

여기서도 절댓값이 음수가 아니므로 전개로부터 $|x+y| \le |x|+|y|$을 얻는다.

(Corollary) 두 복소수 $x$, $y$에 대하여 다음이 성립한다:

$$ ||x|-|y||\le|x\pm y|\le|x|+|y|,. $$

Proof) 다음 식

$$ |x| = |(x+y)+(-y)|\le|x+y|+|y| $$

으로부터 다음을 얻는다:

$$ |x|-|y|\le|x+y|,. $$

따라서 다음을 얻는다:

$$ |x|\ge|y|\quad\Rightarrow\quad |x|-|y|\le|x+y|,,\ |y|\ge|x|\quad\Rightarrow\quad |y|-|x|\le|x+y|,.\ $$

따라서 $|x|\ge|y|$ 또는 $|y|\ge|x|$ 중에서 어떤 경우라도 다음

$$ ||x|-|y||\le|x+y|\le|x|+|y| $$

이 항상 성립한다. 이제 $y$ 대신 $-y$를 넣으면

$$ ||x|-|y||\le|x-y|\le|x|+|y| $$

를 얻으므로, $||x|-|y||\le|x\pm y|\le|x|+|y|$이 항상 성립함을 알 수 있다. ■

(Theorem) (수열의 비교 정리) 수렴하는 두 수열 ${a_n}$과 ${b_n}$을 생각하자. 만약 어떤 자연수 $N$에 대하여

$$ n\ge N\quad\Rightarrow\quad a_n\le b_n $$

이면

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n\le\lim_{n\rightarrow\infty}b_n $$

이다. 특히, 닫힌 구간에서 정의되는 수열 $a_n\in [s, t]$이 특정한 점 $a$로 수렴한다면 $a$는 반드시 $[s, t]$에 포함되어야 한다.

Proof) 만약 $n\ge N$일 때 $a_n\le b_n$인데 극한의 대소 관계는 만족하지 않는다면 두 수열의 극한 $a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ 및 $b=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$에 대하여 $a>b$일 수 있게 된다. 이런 경우에 $\varepsilon=(a-b)/2$을 생각하면 두 수열은 수렴하므로 $N_1>N$을 만족하는 자연수 $N_1$이 $n\ge N_1$일 때

$$ |a_n-a|<\varepsilon ,,\quad |b_n-b|<\varepsilon $$

가 된다고 가정하는 것이 가능하다. 두 식을 풀어쓰면

$$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon ,,\quad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$

을 얻는다. 이제 이들을 이용하면 다음이 성립한다:

$$ a_n > a-\varepsilon = a-\frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2} = b+\frac{a-b}{2} = b+\varepsilon > b_n,. $$

이것은 가정에 모순이므로 극한의 대소 관계는 만족되어야 한다. 즉, $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\le\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$이어야만 한다.   이제 두 번째 명제를 증명하자. 방금 증명한 첫 번째 명제로부터 $s\le a_n\le t$이므로 $s\le a\le t$를 얻는다. ■

(Lemma) (확장된 실수에서의 수열의 비교 정리) $\bar{\mathbb{R}}$에서 수렴하는 두 수열 ${a_n}$과 ${b_n}$을 생각하자. $a_n \rightarrow a$이고 $b_n \rightarrow b$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$이면 $a\le b$이다.

Proof) 만약 a와 b가 유한이면 바로 위에서 증명한 $\mathbb{R}$에서의 수열의 비교 정리에 의해 $a\le b$이다. 만약 $a=b=\pm\infty$이거나, 혹은 $a=-\infty$이고 $b=\infty$이면 더 이상 증명할 것이 없다.   이제 $a=\infty$이고 $-b=\infty$인 경우를 가정하자. 그러면 확장된 실수에서 수열이 무한대로 발산한다는 것의 정의에 의하여 임의의 $M\in\mathbb{R}$이 있을 때, 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n>M$, $b_n<M$이다. 여기서 $M=0$이라 하면 $a_n>0>b_n$이 되며 이것은 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$이라는 가정에 모순이다. 따라서 $a=\infty$이고 $-b=\infty$일 수 없으며 확장된 실수에서 언제나 $a<b$이어야 한다. ■

또한 수열의 최소 상계(least upper bound)에 대한 다음의 비교 정리가 성립한다.

(Theorem) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_n<b_n$이면, $\sup(a_n)\le\sup(b_n)$이다.

Proof) 결론을 부정하여 $\sup(a_n)>\sup(b_n)$이라고 가정하자. 여기서 $\sup(a_n)=A$, $\sup(b_n)=B$라 하면 $A>B$이다. 그런데 $\sup(a_n) = A$라는 뜻은 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여 $a_n\le A$ 이면서 $\varepsilon$ 이내로 $A$에 근접(즉, $A-\varepsilon$보다 큰)하는 항이 ${a_n}$ 중에 존재한다는 뜻이다. (존재하지 않으면 $\sup(a_n)=A$에 모순이기 때문이다.) 여기서 $\varepsilon=A-B$라 놓으면 $A-\varepsilon=B$가 된다. 즉, $a_n>A-\varepsilon=B$를 만족하는 n이 존재하며, 이때 $b_n\le B<a_n$을 만족한다. 이것은 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_n<b_n$이라는 가정에 모순이다. 따라서 $\sup(a_n)\le\sup(b_n)$이 되어야 한다. ■

Ex. $a_n=1-2e^{-n}$, $b_n=1-e^{-n}$이면 언제나 $a_n<b_n$이며 $\sup(a_n)=\sup(b_n)=1$이다.

대학 1학년 미적분학(calculus)이나 수리물리학보다는 엄밀하지만, 대학 2학년 실해석학(real analysis)보다는 엄밀하지 않은 정도로만 다룹니다. 미적분학의 기본 정리들을 증명하기 위한 최소한의 도구를 갖추는 것만을 목표로 합니다.

(Definition) 실수의 부분 집합 $R$에 대하여 $R$의 임의의 원소 $r$이 언제나 $r\le M$인 실수 $M$이 존재하면 $M$은 $R$의 "상계(upper bound)"이다. 만약 $A$가 $R$의 상계이고 $A$보다 더 작은 상계가 존재하지 않는다면 $A$는 $R$의 "최소 상계(least upper bound 혹은 supremum)"라고 하며, 기호로 $\sup A$로 쓴다.

어떤 수 $a$가 집합 $A$의 임의의 상계보다 크면 $a$ 또한 $A$의 상계가 되어야 함은 자명하다. 다음 보조 정리에 의해서 임의의 집합은 단 하나의 최소 상계만을 가질 수 있음을 알 수 있다.

(Lemma) 만약 어떤 집합이 최소 상계(supremum)를 갖는다면, 그것은 해당 집합의 유일한 최소 상계이다.

Proof) $s_1$과 $s_2$가 집합 $E$의 최소 상계라고 하자. 그러면 $s_1$과 $s_2$는 모두 집합 $E$의 상계이므로 $s_1\le s_2$이고, 또한 $s_2\le s_1$이다. 따라서 $s_1 = s_2$이다. ■

(Definition) 실수의 부분 집합 $R$에 대하여 R의 임의의 원소 $r$이 언제나 $N\le r$인 실수 $N$이 존재하면 $N$은 $R$의 "하계(lower bound)"이다. 만약 $B$가 $R$의 하계이고 $B$보다 더 큰 하계가 존재하지 않는다면 $B$는 $R$의 "최대 하계(greatest lower bound 혹은 infimum)"라고 하며, 기호로 $\inf R$로 쓴다.

이제 앞선 글에서 언급한 "실수의 완비성"을 "최소 상계 정리"의 형태로 나타내고자 한다. 정확히는 이들은 모두 공리(axiom)이며 정리(theorem)가 아니지만, 여기서는 정리라고 부르자. 실수의 조밀성과 데데킨트 절단을 이용하여 실수의 완비성을 이끌어내고, 다시 역으로 완비성으로부터 실수의 조밀성을 이끌어내어보자.

(Theorem) (데데킨트의 정리) 실수 집합 전체 $\mathbb{R}$의 임의의 절단 $L|R$을 생각하자. 그러면 $L|R$을 생성하는 단 하나의 유일한 실수가 존재한다.

Proof) 우선 유일성을 증명하자. 만약 두 개의 서로 다른 실수 $\alpha$와 $\beta$가 $L|R$을 생성하고 $\alpha < \beta$이면 실수의 조밀성에 의해 $\alpha<c<\beta$를 만족하는 실수 $c$가 최소한 한 개 존재한다. $c<\beta$이므로, $c\in L$ 이어야한다. 그리고 $\alpha<c$이므로 $c\in R$이어야 한다. 따라서 $c\in L\cap R$이다. 그런데 절단의 정의에 의하여 $L\cap R=\emptyset$이므로 이는 모순이다. 따라서 $\alpha=\beta$로써 유일하다.   이제 존재성을 증명하자. 우선 $\alpha=\sup L$이라 놓고, $u_1<\alpha$인 실수 $u_1$을 생각하자. 만약 $u_1\in R$이면, 최소한 하나의 $s\in L$은 $u_1< s\le \alpha$를 만족해야 한다. (그렇지 않고서 모든 $s\in L$에 대하여 $u_1\ge s$이면 $u_1$은 $L$의 상계가 되는데, 이는 $u_1<\sup L$이라는 뜻으로 일어날 수 없는 일이기 때문이다.) 그러나 $R$의 모든 원소는 $L$보다 커야하므로 이는 모순이다. 따라서 $u_1\in L$이다. 또한 $\alpha<u_2$인 실수 $u_2$를 생각하면, 마찬가지의 논리에 의하여 $u_2\in R$이다. 따라서 $\alpha$는 절단 $L|R$을 생성한다. ■

(Corollary) $L|R$을 실수 전체 $\mathbb{R}$의 절단이라고 하자. 그러면 $L$은 그 자신 안에 최대의 수를 포함하거나, 그렇지않으면 $R$이 그 자신 안에 최소의 수를 포함해야 한다.

Proof) 데데킨트의 정리에 의하여 모든 $a\in L$에 대하여 $a\le \gamma$이거나, 또는 모든 $b\in R$에 대하여 $\gamma\le b$인 단 하나의 유일한 실수 $\gamma$가 존재한다.

이제 최소 상계 성질(least upper bound property)를 증명하자.

(Theorem) (최소 상계 성질; 실수의 완비성) 실수 $\mathbb{R}$의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 상계(upper bound)를 가지면 반드시 실수인 최소 상계(supremum)를 갖는다.

Proof) 공집합이 아닌 $S\subseteq\mathbb{R}$이 상계를 갖는다고 가정하자. 이제 $S$에 대하여 정의되는 집합 $L = {\alpha | \exist \alpha < x\text{ such that } x\in S}$을 생각하자. 그리고 이것의 여집합인 $R = L^c$를 생각하자. 집합 $L$의 정의에 의하여, $L$의 모든 원소는 적어도 하나의 $S$의 원소보다는 작아야 한다. 따라서 어떠한 $L$의 원소도 $S$의 상계가 될 수 없다. 집합 $R$의 정의에 의하여, 모든 $x\in R$는 어떠한 $S$의 원소보다도 크거나 같아야 한다. (그렇지 않으면 $x<s$를 만족하는 $s\in S$가 존재하게 되는데, 그러면 $x\in L$이 되어 모순이다.) 따라서 $R$의 모든 원소는 집합 $S$의 상계가 된다. 그러므로 $S$의 최소 상계 $\sup S$의 존재성에 대한 증명은 $R$이 최소 원소를 갖는다는 것을 증명하는 것으로 충분하다.   이제 $L$과 $R$이 데데킨트 정리의 조건들을 만족함을 보이자. (그럼으로써 $L|R$이 $\mathbb{R}$의 절단임을 보일 것이다.) $S$는 공집합이 아니므로 $s\in S$이면 $s-1\in L$이다. 또한 가정에서 $S$는 상계를 갖는다고 했으므로 $u$가 $S$의 상계이면 $u\in R$이다. 따라서 $L$과 $R$ 어느 것도 공집합이 아니며, $L\cap R=\emptyset$이다. 만약 $\alpha\in L$이고 $\beta\in R$이면 $\alpha<x$를 만족하는 $x\in S$가 존재하며, $x\le\beta$이어야 한다. 따라서 $\alpha<\beta$이다. 그러므로 $L$과 $R$은 실수 전체 집합 $\mathbb{R}$에 대한 절단 $L|R$을 이룬다.   만약 $\alpha\in L$이면 $\alpha<x$를 만족하는 $x\in S$가 존재한다. 그러면 실수는 조밀하므로 $\alpha<\alpha'<x$인 $\alpha'$이 존재한다. 그러므로 $\alpha'\in L$이다. 따라서 $L$의 어떠한 원소도 $L$의 최대 원소가 될 수 없다. 따라서 바로 위의 따름정리에 의해 $R$은 반드시 최소 원소를 그 안에 포함하여야 한다. $S$는 위로 상계이므로, $R$의 최소 원소가 $\sup S$가 된다. ■

최소 상계 성질의 한 가지 중요한 응용은 아르키메데스 성질(Archimedean property)이다.

(Theorem) (아르키메데스 성질) 모든 $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $x<n$인 자연수 $n$이 존재한다.

Proof) 만약 그런 자연수가 존재하지 않으면 모든 자연수 $n$에 대하여 $n\ne x$이어야 한다. 따라서 $x$는 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 상계이다. 최소 상계 성질에 의하여 공집합이 아닌 $\mathbb{N}$은 최소 상계(supremum) $u\in\mathbb{R}$를 갖는다. 이제 $u-1<u$이므로 $u-1$은 $\mathbb{N}$의 상계가 될 수 없다. 따라서 $u-1<m$을 만족하는 자연수 $m$이 존재해야만 한다. 즉, $u<m+1$이다. 그런데 $m+1\in\mathbb{N}$이므로 이것은 $u$가 $\mathbb{N}$의 상계라는 것에 모순이다. 따라서 $x<n$인 자연수 $n$이 반드시 존재한다. ■

아르키메데스 성질을 다음과 같이 표현할 수도 있다: $a, b >0$인 실수 $a$와 $b$에 대하여 $b<na$를 만족하는 자연수 $n$이 반드시 존재한다.

(Lemma) 어떤 실수 $a>0$에 대해서도 $1/n<a$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. Proof) 아르키메데스 성질에 의해서 두 실수 $1$과 $a$에 대하여 $1<na$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 $1/n<a$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. ■

(Theorem) (유리수의 조밀성) 유리수는 실수 안에서 조밀하다. 즉, $a<b$를 만족하는 두 실수 $a$와 $b$에 대하여 $a<q<b$를 만족하는 유리수 $q$가 존재한다. Proof) 임의의 두 실수 $a$, $b$가 $a<b$를 만족한다고 하자. 그러면 $a$와 $b$사이에는 $b-a$ 만큼의 간격이 존재한다. 아르키메데스 성질에 의하여, $b-a$의 크기에 관계 없이 $1<n(b-a)$를 만족하는 자연수 $n$이 존재해야만 한다. 이제 $na+1<nb$로부터 $na$와 $nb$ 사이에 반드시 하나의 정수가 존재함을 알 수 있다. 그런 정수들 중에서 가장 작은 정수를 $m$이라 하면 $na<m$을 만족한다. 즉,

$$ m-1\le na <m $$

을 만족한다. 따라서

$$ m\le na+1 <nb $$

가 만족된다. 그런데 $na<m$이므로 이것은

$$ na < m < nb $$

를 의미한다. 따라서 $a<m/n<b$이므로 $q=m/n$인 유리수가 $a$와 $b$ 사이에 존재한다. ■

(Theorem) (무리수의 조밀성) 무리수 또한 실수 안에서 조밀하다. 즉, $a<b$를 만족하는 두 실수 $a$와 $b$에 대하여 $a<\xi<b$를 만족하는 무리수 $\xi$가 존재한다. Proof) 앞의 예제에서 $\sqrt{2}$가 무리수임을 보았다. $a$, $b$가 실수이고 $a<b$이면 $a-\sqrt{2}<b-\sqrt{2}$이다. 그러므로 위의 정리로부터 $a-\sqrt{2}<q<b-\sqrt{2}$를 만족하는 유리수 $q$가 존재한다. 즉, $a<q+\sqrt{2}<b$인데 $\xi=q+\sqrt{2}$는 무리수이므로 $a<\xi<b$를 만족하는 무리수 $\xi$가 존재한다. ■

$$ n>N \quad\Rightarrow\quad |a_n - L| < \varepsilon $$

을 만족하면 ${a_n}$이 $L$에 "수렴한다"라고 한다. 수렴하지 않으면 "발산한다"라고 한다. ${a_n}$이 $L$에 수렴하면 기호로

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L $$

으로 나타낸다.

(Definition) 수열 ${a_n}$이 임의의 실수 $M$에 대하여 대응되는 자연수 $N$이 있어서

$$ n>N \quad\Rightarrow\quad a_n > M $$

을 만족하면 ${a_n}$은 "무한대로 발산한다"라고 한다. 이를 기호로

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \infty $$

으로 나타낸다. 또는 임의의 실수 $m$에 대하여 대응되는 자연수 $N$이 있어서

$$ n>N \quad\Rightarrow\quad a_n < m $$

을 만족하면 ${a_n}$은 "음의 무한대로 발산한다"라고 한다. 이를 기호로

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = -\infty $$

으로 나타낸다.

Ex. $\lim_{n\rightarrow\infty}1/n = 0$이 됨을 증명해보자. 즉,

$$ n>N\quad\Rightarrow\quad\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon $$

을 만족하는 자연수 $N$이 존재함을 보여야 한다. 이것은 $1/n<\varepsilon$을 만족해야하는데, 이는 모든 $n>N$에 대하여 $n>1/\varepsilon$이라는 뜻이다. 그런데 이는 $1/\varepsilon$보다 큰 모든 자연수 $N$에 대하여 만족하므로 $\lim_{n\rightarrow\infty}1/n = 0$이어야 한다.

(Definition) 만약 임의의 수 $M$에 대하여 자연수 $N$이 있어서 $n>N \Rightarrow a_n>M$을 만족한다면 수열 ${a_n}$은 "무한대로 발산한다"라고 한다. 이때 $a_n\rightarrow\infty$ 또는

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty $$

로 표기한다. 만약 임의의 수 $m$에 대하여 자연수 $N$이 있어서 $n>N \Rightarrow a_n<m$을 만족한다면 수열 ${a_n}$은 "음의 무한대로 발산한다"라고 한다. 이때 $a_n\rightarrow-\infty$ 또는

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty $$

로 표기한다.

(Lemma) 수열 ${a_n}$이 L에 수렴한다고 하자. 그러면 수열 ${|a_n|}$은 $|L|$에 수렴한다.

Proof) 수열 ${a_n}$이 $L$에 수렴하므로 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $n>N$일 때 $|a_n - L|<\varepsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 언제나 존재한다. 그런데

$$ \left||a_n|-|L|\right| \le |a_n - L| $$

이므로, $n>N$일 때 또한 언제나 $\left||a_n|-|L|\right| < \varepsilon$이 되어야 한다. 그러므로 ${|a_n|}$은 $|L|$에 수렴한다. ■

(Theorem) 실수 수열 $a_n$, $b_n$에 대하여$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$, $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$일 때, 다음이 성립한다:

$$\begin{aligned} \text{(1) }& \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=A+B,, \ \text{(2) }& \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=A-B,, \ \text{(3) }& \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B,, \ \text{(4) }& \lim_{n\rightarrow\infty}(k a_n)=kB \quad(k\in\mathbb{R}),,\ \text{(5) }& \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} \quad(\text{단, }B\ne 0),. \end{aligned}$$

(Theorem) 임의의 수열은 단 하나의 극한만을 가질 수 있다.

Proof) 만약 ${a_n}$이 두 개의 극한 $a$와 $b$를 갖는다고 하자. 정의에 의하여 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여 $n\ge N$이면 $|a_n-a|<\varepsilon/2$이고 $|a_n-b|<\varepsilon/2$를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다. 여기서 삼각 부등식을 이용하면, 다음

$$ |a-b|\le|a-a_n|+|a_n-b| < \varepsilon $$

을 얻는다. 따라서 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여 $|a-b|<\varepsilon$이므로 $a=b$이다. ■

대학 1학년 미적분학(calculus)이나 수리물리학보다는 엄밀하지만, 대학 2학년 실해석학(real analysis)보다는 엄밀하지 않은 정도로만 다룹니다. 미적분학의 기본 정리들을 증명하기 위한 최소한의 도구를 갖추는 것만을 목표로 합니다.

실수 체계(real number system)의 정의는 크게 세 가지 단계로 이루어질 수 있는데, 대수적 성질, 순서(ordering) 공리, 그리고 완비성(completeness)이다.

1. (체 공리) 실수 집합($\mathbb{R}$)은 체(field)이다. 다시 말해서 덧셈($+$)과 곱셈($\cdot$)이 정의되는 집합이라는 뜻이다. 대수학(algebra)에서 체란 "곱셉의 항등원(unity) 1을 갖는 가환 나눗셈환(commutative division ring)"이다. 즉, 임의의 $a, b, c\in \mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다: F1. $a+b$와 $a\cdot b$는 $\mathbb{R}$에 포함된다. (닫힘 성질) F2. $a+(b+c)=(a+b)+c$이고, $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$이다. (결합법칙) F3. $a+b=b+a$이고, $a\cdot b=b\cdot a$이다. (교환법칙) F4. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$ (분배법칙) F5. $0+a=a$를 만족하는 유일한 원소 $0$이 $\mathbb{R}$에 포함된다. (덧셈의 항등원) F6. $1\cdot a=a$를 만족하는 유일한 원소 $1$이 $\mathbb{R}$에 포함된다. (곱셈의 항등원) F7. $a+(-a)=0$을 만족하는 유일한 원소 $-a$가 $\mathbb{R}$에 포함된다. (덧셈의 역원) F8. $a\ne 0$일 때, $a\cdot(a^{-1})=0$을 만족하는 유일한 원소 $a^{-1}$이 $\mathbb{R}$에 포함된다. (곱셈의 역원)

2. (순서 공리) 곱집합 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$은 순서 관계 $\le$를 갖는다. 즉, 임의의 $a, b, c\in \mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다: O1. 다음 중 하나만 성립한다: $a>b$, $b<a$, $a=b$ (삼자택일) O2. $a<b$이고 $b<c$이면 $a<c$이다. (추이성) O3. $a<b$이면 $a+c<b+c$이다. (덧셈성질) O4. $a<b$이고 $c>0$이면 $a\cdot c<b\cdot c$이다. 또한 $a<b$이고 $c<0$이면 $a\cdot c>b\cdot c$이다. (곱셈성질)

3. (완비성) 공집합이 아닌 모든 실수의 부분 집합은 최소 상계(least upper bound)를 실수 집합 안에 갖는다.

"유리수" 집합은 다음과 같이 정의된다:

$$ \mathbb{Q} = \left{\left.\frac{m}{m}\right| \text{$m$과 $n$은 정수이며 }n\ne 0 \right},. $$

또한 "무리수" 집합은 $\mathbb{Q}^c=\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$로 정의된다.

유리수와 무리수의 합은 반드시 무리수이다. $q$가 무리수이고 $x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$라 하자. 이때 $q+x=r\in\mathbb{Q}$이면 $x=r-q\in\mathbb{Q}$가 되는데, 이는 모순이다. 따라서 $q+x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$이다. 그러나 어떤 무리수라도 $0$과의 곱은 유리수이다.

유리수($\mathbb{Q}$)와 실수($\mathbb{R}$)는 위의 공리 중에서 1과 2를 만족한다. 그러나 공리 3은 실수만이 만족한다.

Ex. 유리수에 구멍(gap)이 있다는 잘 알려진 한 가지 예는 $\sqrt{2}$에 대응되는 유리수가 없다는 점이다. 만약 거듭제곱해서 $2$가 되는 유리수가 존재한다면 $r=p/q$이고 $r^2=2$인 서로 소인 두 유리수 $p$, $q$가 존재하여야 한다. 즉, $p^2=2q^2$를 만족해야한다. 이때 $p$는 $2$의 배수이므로 홀수일 수 없다. 따라서 $p=2k$로 놓으면 $p^2=4k^2=2q^2$에서 q도 짝수여야만 한다. (그렇지 않으면 $4k^2$가 $4$의 배수가 될 수 없으므로 모순이다.) 이것은 $p$와 $q$가 서로 소라는 가정에 모순이므로 거듭제곱해서 $2$가 되는 유리수란 존재할 수 없는 것이다.

유리수 집합($\mathbb{Q}$)의 갭을 메워 실수 집합($\mathbb{R}$)을 구축하는 방식 중에 데데킨트 절단(Dedekind cuts)이 있다. 이를 통해 가위로 선을 절단하듯이 실수 체계를 시각화해서 이해할 수 있다.

(Definition) 집합 $S$에서의 절단(cut)은 $S$의 두 부분 집합 $A$와 $B$의 쌍으로 정의되며, 다음을 만족한다: (1) $A\cup B=S$, $A\ne\empty$, $B\ne\empty$, $A\cap B=\empty$. (2) $a\in A$이고 $b\in B$이면 $a<b$이다.

두 집합 $A$와 $B$가 특정한 집합 $S$에 대한 데데킨트 절단을 이루면 $A|B$로 표시한다. 다음 글에서 증명하겠지만, 실수 전체의 절단을 $L|R$이라고 하면 $L$이 최대 원소를 그 안에 포함하거나 혹은 $R$이 최소 원소를 그 안에 포함하거나 둘 중 하나의 경우만이 성립한다.

(Definition) 순서가 있는 집합 $S$에 대한 절단 $L|R$에 대하여 $S$의 임의의 원소 $\alpha$가 $a\in A$일 때 $a\le\alpha$를 만족하고, 또한 $b\in B$일 때 $\alpha\le b$를 만족한다면 $\alpha$가 $L|R$의 "생성자"라고 하며, 때때로 $\alpha = L|R$로 표기한다.

Ex. $L={x\in \mathbb{Q}|x<\sqrt{2}}$ 이고 $R={x\in \mathbb{Q}|x>\sqrt{2}}$이면 $L|R$은 유리수에서의 절단을 형상한다. 이때 $\sqrt{2}$는 유리수에 포함되지 않지만 절단 $L|R$을 생성한다.

절단의 생성자들 사이에는 순서 관계가 있다:

(Definition) $x=A|B$이고 $y=C|D$인데 $A\sub C$이면 $x$는 $y$보다 "작거나 같다"라고 하며 $x\le y$라고 쓴다. $A\sub C$인데 $A\ne C$이면 $x$는 $y$보다 "작다"라고 하며 $x<y$로 쓴다.

순서가 있는 집합에서 위상수학(topology)적 엄밀함을 도입하지 않고 "조밀함"을 다소 직관적으로 정의하자면 다음과 같다:

(Definition) 순서가 있는 집합 $S$에 대하여 $S$의 두 원소 $a$와 $b$가 $a<b$일 때 어떤 $s\in S$가 존재하여 $a<s<b$를 만족하면 $S$는 "조밀하다"라고 한다.

실수의 조밀성과 데데킨트 절단을 이용하여 "3. 실수의 완비성" 공리를 이끌어내고, 다시 역으로 완비성으로부터 실수의 조밀성을 이끌어낼 수 있다. 미적분학의 여러 정리의 증명에 자주 쓰이는 것은 공리의 다음 표현이다:

(Axiom) (최소 상계 성질; Least upper bound property) 임의의 공집합이 아닌 실수의 부분집합이 상계(upper bound)를 갖는다면, 그 집합은 최소 상계를 갖는다.

여기서 최소 상계 등이 무엇인지는 다음 글에서 따로 정의하고 관련 성질을 증명하겠다.

$$ d_n \le a_n \le c_n \quad \text{ for all } $$

이 성립한다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다:

(1) $\sum c_n$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴한다. (2) $\sum d_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다.

Proof) (1) $\sum c_n$이 수렴하는데 $n\ge N$일 때 $a_n \le c_n$ 이므로 $\sum c_n$의 부분합은 위로 유계(bounded from above)이다. 즉,

$$ M = a_1 + a_2 + \cdots + a_N + \sum_{n=N+1}^\infty c_n $$

이 되는 $M$이 존재한다. 따라서 부분합 $A_n = \sum_{k=1}^{n}$는 비감소 수열(nondecreasing sequence) ${A_n}$을 이룬다. 비감소수열 ${A_n}$이 위로 유계이므로 ${A_n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum a_n$은 수렴한다. (2) $\sum a_n$이 수렴한다고 가정하자. $n\ge N$일 때 $d_n \le a_n$이므로, $\sum d_n$의 부분합은 위로 유계이고

$$ M^* = d_1 + d_2 + \cdots + d_N + \sum_{n=N+1}^\infty a_n $$

이 되는 $M^*$이 존재한다. 따라서 부분합 $D_n = \sum_{k=1}^{n}$는 비감소 수열 ${D_n}$을 이룬다. 비감소수열 ${D_n}$이 위로 유계이므로 ${D_n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum d_n$은 수렴한다. 이것의 역이 참이므로, $\sum d_n$이 발산한다면 $\sum a_n$은 발산한다. □

Ex. 다음 급수

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{5}{5n-1} $$

의 수렴성을 조사해보자. 일반항을 살펴보면

$$ \frac{5}{5n-1} = \frac{1}{n - \frac{1}{5}} > \frac{1}{n} $$

인데, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$이 발산하므로 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{5n-1}$는 발산한다.

Ex. 다음 급수

$$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n $$

의 수렴성을 조사해보자. 일반항을 살펴보면 $n \ge 1$일 때

$$ -\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n \le (-1)^n\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n $$

이 성립한다. 그런데

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 - \frac{3}{n}\right)^n = e^{-3}\ne 0 $$

이므로 급수 $\sum_{n=1}^\infty \left[ -\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n \right]$은 발산하게 된다. 따라서 비교 판정법에 의해서 급수 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n$은 발산한다.

Ex. 다음 급수

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^3} $$

의 수렴성을 조사해보자. $x>0$일 때 $\ln x < x$이므로 $n \ge 1$에 대하여

$$ \frac{\ln n}{n} < 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\ln n}{n^3} < \frac{1}{n^2} $$

이 성립한다. 그런데 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$은 수렴하므로 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^3}$도 수렴한다.

Ex. 다음 급수

$$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}\right) $$

의 수렴성을 조사해보자. 우선 $n\ge 2$일 때 $(n-1)^2 > 1$이므로

$$ (n-1)^2 = n^2 - 2n +1 > 1 $$

로부터

$$ 2n^2 - 2n = 2n(n-1) > n^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2n} < \frac{n-1}{n^2} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} $$

을 얻는다. 여기서 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$는 발산하므로 $\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}\right)$ 역시 발산한다.

$$ \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+\cdots $$

가 $L$에 "수렴한다"는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 다음을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다는 뜻이다: 임의의 자연수 $n > N$에 대하여

$$ \left|\sum_{k=1}^{n}a_n - L\right| = |s_n - L| < \varepsilon $$

이 성립한다. 즉, 수열 ${a_n}$의 부분합 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_n = a_1+\cdots + a_n$에 대하여 $\lim_{n \rightarrow \infty} = L$이 된다. 만약 $\sum a_n$이 수렴하지 않으면 "발산한다"라고 정의한다.

(Theorem) ($n$항 판정법; The $n$-th term test for divergence) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴한다면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$이다.

Proof) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하므로 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$라 놓자. 그러면 부분합

$$ S_n = a_1 + \cdots + a_n $$

에 대하여 $\lim_{n\rightarrow 0} S_n = S$이다. 한편 $a_n = S_n - S_{n-1}$이므로

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n - \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1} = S - S = 0 $$

으로써 성립한다. □

Ex) 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{1}{n}$은 발산한다. 왜냐하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} \cos\frac{1}{n}=1$이 되어 $0$이 아니기 때문이다.

$$ (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x) $$

가 성립한다. 즉,

$$ \frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df}{du}\frac{du}{gx} $$

이다.

(증명) 합성 함수 $y=f(g(x))$에 대하여 $u=g(x)$로 표기하고, $x$가 $\Delta x$만큼 증가한다고 했을 때, $u$는 $\Delta u$만큼 증가하고 $y$는 $\Delta y$만큼 증가한다고 하자. 그러면

$$ \left.\frac{dy}{dx}\right|{x=x_0} = \lim{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} $$

라고 쓸 수 있다. 한편, $u=g(x)$가 $x=x_0$에서 미분 가능하므로 선형 근사와 미분 가능성의 관계에 의하여 $x=x_0$ 부근의 $u$의 변화는

$$ \Delta u = g'(x_0)\Delta x + \epsilon_1\Delta x $$

로 표기된다. 이때 $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\epsilon_1\rightarrow 0$이다. 마찬가지로, $y=f(u)$가 $u=f(x_0)=u_0$에서 미분 가능하므로 $u=u_0$ 부근의 $y$의 변화는

$$ \Delta y = f'(u_0)\Delta u + \epsilon_2\Delta u $$

로 표기된다. 이때 $\Delta u\rightarrow 0$일 때 $\epsilon_2\rightarrow 0$이다. 따라서

$$ \Delta y = (f'(u_0) + \epsilon_2)(g'(x_0) + \epsilon_1)\Delta x $$

로 쓸 수 있다. 그러므로

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u_0)g'(x_0) + \epsilon_2f'(u_0) + \epsilon_1g'(u_0) + \epsilon_1\epsilon_2 $$

이고, 이때 $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\epsilon_1, \epsilon_2\rightarrow 0$dlek. 따라서

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u_0)g'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0) $$

가 성립한다. □

$$ y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) $$

으로 쓸 수 있다. $y = f(x)$가 임의의 미분 가능한 곡선일 때, $x=x_0$ 근처에서는

$$ y \simeq f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) $$

로 근사(approximation)할 수 있을 것이다. 이것을 "표준 선형 근사(standard linear approximation)"라고 한다. 이때

$$ L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) $$

를 $y = f(x)$에 대한 "선형화(linearization)" 혹은 "선형 근사" 라고 한다.

이를테면 실수 $k$에 대해서 $f(x) = (1+x)^k$인 함수가 있다고 하면 $f'(x) = k(1+x)^{k-1}$이므로 "$f(x)$의 $x=0$ 근처에서의 선형화"는

$$ f(x) \simeq 1 + k x $$

이다.

본래 $y = f(x)$의 미분을 뜻하는 라이프니츠 표기법 $f'(x) = \frac{dy}{dx}$에서 $\frac{dy}{dx}$는 분수나 비율을 뜻하는 것이 아니다. 이제 $\frac{dy}{dx}$가 존재한다면, $dx$와 $dy$를 독립적인 각각의 대상으로 생각하는 "표기법"을 정의해보자. 즉, $dx$와 $dy$라는 대상끼리의 비율 관계가 존재한다면 $\frac{dy}{dx}$는 $y = f(x)$에서의 미분 $f'(x)$이 존재한다는 식으로 생각할 수 있는 "대상"을 정의하자는 뜻이다. 이러한 대상을 "미분소(differential)"라고 한다. 보다 엄밀한 정의는 다음과 같다:

(Definition) $y=f(x)$이 미분 가능한 함수라고 가정하자. 변수 $x$에 대한 미소 변위를 뜻하는 미분소(differential) $dx$가 존재한다면, 미분소 $dy$는

$$ dy = f'(x)dx $$

로 정의된다.

미분소의 기하학적인 의미는 위 그림에서의 $\Delta L$과 같다. $x=a$인 점을 생각하자. 그러면 $x$가 $a$에서 $a+dx$로 변화할 동안 $y=f(x)$의 변화는

$$ \Delta y = f(a+dx) - f(a) $$

이다. 이때 $x=a$에서의 접선 $y=L(x)$의 변화는 다음과 같다:

$$\begin{aligned} \Delta L &= L(a+dx) - L(x) \ &= \left. f(a) + f'(a)(x-a) \right|_{x=a}^{x=a+dx} \ &= f(a)+f'(a) dx -f(a) \ & = f'(a) dx \end{aligned}$$

즉, $f(x)$의 선형화에서의 변화는 정확히 미분소 $dy$의 변화와 같다. 따라서 $dx \ne 0$이면 $dy$를 $dx$로 나눈 비율은 정확히 $f'(x)$와 같다.

이와 같은 방식으로 미분 가능한 함수 $f$의 미분소 $df$를

$$ df = f'(x)dx $$

로 나타낼 수 있다.

(Theorem) (미분 가능성과 Error) $y=f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능하고 $x$가 $a$에서 $a + \Delta x$까지 변한다고 가정하자. 그러면 $f$의 실제 변화 $\Delta f$는

$$ \Delta f = f'(a)\Delta x + \varepsilon \Delta x $$

로 나타낼 수 있다. 이때 $\Delta x \rightarrow 0$일 때 $\varepsilon \rightarrow 0$이다.

(증명) 만약 $f$가 $x=a$에서 미분 가능하고 $x$가 $a$에서 $a+\Delta x$로 변한다면 접선 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$에서의 변화는

$$ \Delta L = L(a+\Delta x)-L(a) = f'(a)\Delta x $$

이다. 즉, 이것은 $f$의 변화에 대한 미분 근사 $df=f'(a)\Delta x$와 동일하다. 한편 $f$의 실제 변화는

$$ \Delta f = f(a+\Delta x) - f(a) $$

이다. 실제 변화와 미분 근사의 차이를 근사 오류(error)라고 해보자. 근사 오류를 구해보면

$$\begin{aligned} \text{error} &= \Delta f - df\ &= f(a+\Delta x)-f(a)-f'(a)\Delta x\ &= \left(\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}-f'(a)\right) \Delta x \equiv \varepsilon \Delta x \end{aligned}$$

이다. 여기서 $\Delta x \rightarrow 0$일 때 $\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$는 $f'(a)$에 가까워지므로 $\varepsilon \rightarrow 0$이 된다. 따라서 실제 변화 $\Delta f$는

$$ \Delta f = df + \varepsilon = f'(a)\Delta x + \varepsilon \Delta x $$

로 쓸 수 있으며, 여기서 $\Delta x \rightarrow 0$일 때 $\varepsilon \rightarrow 0$이다. □

그러면 점 $P$에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같다:

$$ V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_+} + \frac{-q}{r_-} \right) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-} \right) $$

여기서 코사인 법칙에 의해

$$ r_+^2 = r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2r\left(\frac{d}{2}\right)\cos\theta $$

인데, 이를 이용하여 $r\gg d$인 영역에서 Taylor 전개를 하면

$$\begin{aligned} \frac{1}{r_+} &= \frac{1}{r}\left(1-\frac{d}{r}\cos\theta+\frac{d^2}{4r^2}\right)^{-1/2} \simeq \frac{1}{r}\left(1+\frac{d}{2r}\cos\theta\right),,\ \frac{1}{r_-} &= \frac{1}{r}\left(1+\frac{d}{r}\cos\theta+\frac{d^2}{4r^2}\right)^{-1/2} \simeq \frac{1}{r}\left(1-\frac{d}{2r}\cos\theta\right)\ \end{aligned}$$

이므로

$$ \frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-} \simeq \frac{d\cos\theta}{r} $$

이 되어서 전기 퍼텐셜은

$$ V(\vec{r}) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{d\cos\theta}{r} + \cdots= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}\cdot \hat{r}}{r^2} + \cdots $$

이 된다. 여기서 $\vec{p} = q\vec{d} = q(\vec{r_+} - \vec{r_-})$이다. 어떤 국소적인 전하 분포가 있을 때, total charge가 0인 경우는 퍼텐셜의 첫 번째 근사가 바로 쌍극자(dipole) 전기 퍼텐셜

$$ V_{\text{dip}}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}\cdot \hat{r}}{r^2} $$

이다. 즉 단일 전하의 전기 퍼텐셜이 $1/r$인데, 쌍극자 전기 퍼텐셜은 $1/r^2$라는 점이 중요하다.

이런 식으로 계속 하면 다중 전하 분포에서 단일항 퍼텐셜 $V_{\text{mon}}$이 0이고 또한 쌍극자 퍼텐셜 $V_{\text{dip}}$ 마저 0일 경우 네 개의 전하가 번갈아가며 +, -, +, -를 갖는 구조의 quadrupole이 leading term이 되며, 이때 $V_{\text{quad}}$는 $1/r^3$이다. 이런 식으로 다중극 전개(multipole expansion)가 계속 될 수 있다.