modem_soc.log

5.1.1 Frequency-Domain Sampling and Reconstruction of Discrete-Time Signals

Sun, 21 Apr 2024 10:05:03 GMT

비주기 신호의 푸리에 변환은 식 5.1.1로 나타낼 수 있다.
$$ X(w) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-jwn} \quad\quad\quad\quad [5.1.1]$$

비주기 이산 신호의 푸리에 변환은 주파수 축에서 연속적인 값을 갖는다. 연속적인 값은 곧 무한한 값이므로 컴퓨터에서 값을 처리할 수 없다. 그래서 연속적인 주파수 축을 이산 축으로 바꿔줘야 한다. 주파수 축의 간격을 $$\delta w$$ 라고 가정해보자.

비주기 이산 신호는 주파수 축에서 $$2 \pi$$ 마다 반복되므로 그 범위 내에서만 이산 축으로 바꿔준다.

만약 유효한 이산 신호의 주파수축 범위를 $$0<= w <= 2 \pi$$라고 하면 이 범위에서 간격 $$N$$으로 주파수를 선택해 이산 주파수 축으로 만드는 것이다.

이산 주파수 축에서 인접한 두 주파수 간격이 $$\delta w$$이므로 $$\delta w = 2 \pi/N$$이 성립한다. 따라서 식 [5.1.1]을 식 [5.1.2]로 다시 쓸 수 있다.

$$ X(\frac{2 \pi}{N}k) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j2 \pi kn/N} \quad\quad\quad k = 0, 1, .... , N-1 \quad\quad\quad\quad [5.1.2]$$

$$X(\frac{2 \pi}{N}k)$$은 주파수 축 성분이고 $$2 \pi$$ 마다 반복된다. 따라서 이것을 푸리에 급수로 확장할 수 있다. 푸리에 급수는 식 [5.1.5]로, 푸리에 급수 계수는 식 [5.1.6]으로 나타낸다.
$$ x_p(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j2 \pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [5.1.5] $$ $$ c_k = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x_p(n)e^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [5.1.6] $$

식 [5.1.2]와 식 [5.1.6]을 비교해보면 $$Nc_k = X(\frac{2 \pi}{N}k)$$ 를 만족한다. 따라서식 [5.1.5]는 식 [5.1.8]로 다시 쓸 수 있다.

$$x_p(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(\frac{2 \pi}{N}k)e^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [5.1.8]

4.2.1 The Fourier Series for Discrete-Time Periodic Signals

Thu, 18 Apr 2024 11:38:02 GMT

이산 시간 주기 신호(Discrete-Time Periodic Signals)은 이산 시간 축에서 주기를 갖는 신호이다.

주기 신호가 $$x(n)$$이고 주기가 $$N$$이면 $$x(n) = x(n+N)$$을 만족한다.

이산 시간 주기 신호를 푸리에 급수(Fourier Series)로 나타내면 식 [4.2.1]과 같다.

$$ x(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.1] $$

짧게 부연 설명을 하면 푸리에 급수는 Harmonically 관계에 있는 신호의 합으로 주기 신호 $$x(n)$$ 를 표현할 수 있다는 뜻이다. $$e^{j 2\pi kn/N}$$ 는 기본 주파수가 $$f$$ 이고 주기가 $$N$$인 복소 정현파 신호의 Harmonically 신호이다. $$f = \frac{1}{N}$$ 이기 때문에 $$\frac{k}{N}$$ 가 Harmonically 관계의 주파수인 것이다. 추가로 $$c_k$$는 푸리에 계수이다.

푸리에 계수 $$c_k$$를 구하기 위해 식 [4.2.1]을 변형해보자.

식 [4.2.1] 양변에 $$\sum_{n=0}^{N-1}$$ 을 취하고 $$e^{-j2\pi l n/N}$$을 곱하면 식 [4.2.4]와 같다.

$$ \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j 2\pi ln/N} = \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j 2\pi (k-l)n/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.4]$$

먼저 식 [4.2.4]의 우변의 $$\sum_{n=0}^{N-1} e^{j 2\pi (k-l)n/N}$$을 풀어보자. 이 때 $$k-l$$이 주기 $$N$$의 배수이면 $$e^{j 2\pi (k-l)n/N}$$는 항상 1이다. 따라서 식 [4.2.5]가 성립한다.

$$ \sum_{n=0}^{N-1}e^{j 2\pi (k-l)n/N} = N, \quad\quad k-l = 0, \pm N, \pm 2N, \pm 3N, ...$$

$$ \sum_{n=0}^{N-1}e^{j 2\pi (k-l)n/N} = 0, \quad\quad otherwise \quad\quad\quad\quad [4.2.5] $$

그러므로 식 [4.2.4]의 우변은 식 [4.2.6]으로 다시 쓸 수 있다.

$$ \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j 2\pi (k-l)n/N} = Nc_l \quad\quad\quad\quad [4.2.6]$$

따라서 최종 푸리에 급수식과 푸리에 계수를 식[4.2.7], 식 [4.2.8]과 같이 유도할 수 있다.

$$ x(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.7] $$

$$ c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2 \pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.8]$$

식 [4.2.7]을 이산 푸리에 급수(Discrete-Time Fourier Series)로 정의하고 식 [4.2.8]을 이산 푸리에 계수로 정의한다.

이산 시간 신호에서 Harmonically 관계에 있는 신호를 $$s_k(n)$$으로 정리하면 $$s_k(n) = s_{k+N}(n)$$ 을 만족한다. 1.3.3절에서 자세히 설명했지만 기억을 위해 다시 한 번 설명한다.

기본 주파수 $$f$$ 가지는 이산 시간 신호와 Harmonically 관계에 있는 신호의 주파수는 $$kf$$이다. 그리고 이 주파수의 범위는 $$2 \pi$$에서 유효하다. 이산 신호에서 두 신호의 주파수가 $$2 \pi$$가 차이나면 간섭(Alias)가 일어난다. 따라서 두 신호를 구분할 수 없다. Harmonically 신호에도 동일하게 적용되기 때문에 $$s_k(n) = s_{k+N}(n)$$ 이 성립한다.

이 특성을 푸리에 계수 식 [4.2.8]에 적용해보자 그러면 식 [4.2.9][가 만들어진다.

$$ c_{k+N} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2 \pi (k+N)n/N} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2 \pi kn/N} = c_k \quad\quad\quad\quad [4.2.9]$$

즉 이산 시간 신호의 푸리에 계수는 주기 $$n$$마다 반복된다. 따라서 시간 축에서 이산 시간 신호 $$x(n)$$의 전력 밀도 스펙트럼에서는 주기 $$N$$마다 스펙트럼이 반복된다.

4.1.3 The Fourier Transform for Continuous-Time Aperiodic Signal

Wed, 17 Apr 2024 13:46:28 GMT

4.1.2절에서는 주기 신호에 대한 푸리에 변환을 살펴보았다.

이번 장에서는 비주기 신호(Aperiodic Signal)에 대한 푸리에 변환을 알아 본다.

먼저 주기 함수에 대한 전력 밀도 스펙트럼을 [그림 1]처럼 나타낼 수 있다. 주기 신호의 주기 $$T_p$$가 클 수록 주파수 성분의 밀도가 빽빽해진다.

[그림 1]

만약 비주기 신호라면 어떻게 될까? 비주기 신호라면 주기 $$T_p = \infty$$ 가 될 것이다. 그러면 기본 주파수 $$F_0$$는 0 이다.

간격이 0이므로 전력 밀도 스펙트럼의 인접한 주파수 성분들은 연속하게 된다.

수식을 통해 비주기 함수와 주기함수의 관계를 푸리에 급수로 표현해보고 의미를 파악해보자.

[그림 2]

[그림 2]의 위 신호는 비주기 신호 $$x(t)$$이고 [그림 2]의 아래 신호는 주기가 $$T_p$$인 주기 신호 $$x_p(t)$$이다. (그림에서 $$T_p/2%$$가 두번 나오는 건 오류)

주기 신호 $$x_p(t)$$의 주기 $$T_p$$를 무한대로 보내면 비주기 함수가 되어 [그림 2]의 위 신호와 같아지게 된다.

주기 신호 $$x_p(t)$$를 푸리에 급수로 나타내면 식[4.1.20], 식[4.1.21]과 같다.

$$ x_p(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad[4.1.20] $$

$$ c_k = \frac{1}{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}x_p(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.21]$$

을 만족한다.

비주기 신호 $$x(t)$$는 $$-\frac{T_p}{2} <= t <= \frac{T_p}{2}$$ 에서 주기 신호 $$x_p(t)$$와 같다. 따라서 주기 신호 $$x(t)$$를 푸리에 급수로 나타내면 식 [4.1.22]와 같다.

$$ c_k = \frac{1}{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}x(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.22]$$

이 때 비주기 신호 $$x(t)$$는 $$-\frac{T_p}{2} <= t <= \frac{T_p}{2}$$ 범위 밖에서 값이 0이기 때문에 식 [4.1.22]의 적분 구간을 무한대로 확장할 수 있다. 즉 식 [4.1.23]과 같다.

$$ c_k = \frac{1}{T_p}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.23]$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi kF_0t}dt$$ 를 $$X(kF)$$로 정의해보자. 이것이 주기함수의 푸리에 급수이다. 그러면 [식 4.1.24]가 된다.

$$ X(kF_0) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi kF _0t}dt \quad\quad\quad [4.1.24]$$

식 [4.1.23]과 식 [4.1.24]를 결합하면 식 [4.1.25]가 만들어 진다.

$$ T_pc_k = X(kF_0) = X(\frac{k}{T_p}) \quad\quad\quad\quad [4.1.25]$$

식 [4.1.25]를 통해 $$x_p(t)$$의 푸리에 변환 $$X(kF_0)$$는 주파수 축에서 인접한 주파수 간격이 $$F_0$$임을 확인할 수 있다. 즉 유한하다.

만약 주기 $$T_p$$가 무한대로 가면 주기 신호는 비주기 신호가 되고 주파수 축에서 인접한 주파수 간격이 0이 됨을 확인할 수 있다. 즉 연속한다.

만약 식 [4.1.20]과 식 식 [4.1.25]를 결합하면 식 [4.1.26]과 같다.

$$ x_p(t) = \frac{1}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(\frac{k}{T_p})e^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad[4.1.26] $$

즉 푸리에 변환식에 $$e^{j 2\pi k F_0t}$$ 를 곱해주면 주파수축 신호가 시간축 신호로 바뀜을 확인할 수 있다. 이것이** 주기 함수의 역 푸리에급수(Inverse-Fourier Series) 이다.**

정리하자면 식 [4.1.24]에서 처럼 시간축 함수 $$x(t)$$에 $$e^{-j 2\pi k F_0t}$$를 곱해 주파수 축 함수 $$X(kF)$$로 바꾸는 과정을 푸리에 변환이라고 한다.

반대로 식 [4.1.26] 처럼 주파수 축 함수 $$X(kT_p) = X(\frac{k}{F_0})$$ 를 시간축 함수 $$x(t)$$로 바꾸는 과정을 역푸리에 변환이라고 하는 것이다.

추가로 $$kF_0$$가 0으로 가면 주기함수가 비주기 함수가 되고 유한한 값인 $$kF_0$$가 연속인 값인 $$F$$가 된다. 따라서 역 푸리에변환은 식[4.1.27]과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$ x_(t) = \frac{1}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(F)e^{j 2 \pi Ft} \quad\quad\quad[4.1.27] $$

식 [4.1.27]은 비주기함수의 푸리에 급수이며 비주기함수의 푸리에 변환이다.

식 [4.1.24]에서 유한한 주파수 축인 $$kF_0$$를 무한한 주파수 축인 $$F$$로 바꾸면 식 [4.1.28]과 같다.

$$ X(F) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi Ft}dt \quad\quad\quad [4.1.28]$$

식 [4.1.28]은 비주기함수의 푸리에 급수이며 비주기함수의 푸리에 변환이다.

이를 통해 푸리에 급수는 주기 신호에 대한 푸리에 급수이고 푸리에 변환은 비주기 신호에 대한 푸리에 급수인 것을 알 수 있다. 바꿔 말하면 유한한 주파수 축을 무한한 주파수 축으로 확장한 것이고 주기 신호에서 정의된 푸리에 급수를 비주기 신호로 확장한 것이다.

마지막으로 주파수를 각주파수로 바꿔서 표현하면 푸리에 변환은 식 [4.1.31], 식 [4.1.32]과 같다.
$$ x_(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega)e^{j \Omega t}d\Omega \quad\quad\quad[4.1.31] $$

$$ x_(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j \Omega t}dt \quad\quad\quad[4.1.32] $$

[그림 1]과 비교해서 설명하면 시간축에서 비주기 신호의 주파수 스펙트럼 성분을 구하는 것이 식 [4.1.32]에 해당하고 주파수 축에서 비주기 함수의 시간 축 신호를 구하는 것이 식 [4.1.31]이다.

4.1.2 Power Density Spectrum of Periodic Signals

Wed, 17 Apr 2024 12:19:49 GMT

주기 신호(Periodic Signals)는 무한한 에너지를 가지고 유한한 평균 파워를 가진다.

주기 신호 $$x(t)$$에 대해 평균 파워는 식 [4.1.12]와 같이 구할 수 있다.

$$ P_x = \frac{1}{T_p}\int_{T_p}^{}{\left\vert x(t)^2 \right\vert dt} \quad\quad\quad\quad [4.1.12]$$

주기 신호를 푸리에 급수로 표현하면 식 [4.1.12.1]과 같다.

$$ x(t) =\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{2\pi kF_0t} \quad\quad\quad\quad [4.1.12.1]$$

주기 신호 x(t)의 Power를 구하기 위해 식 [4.1.12.1]을 [4.1.12]에 대입하면 식 [4.1.13]로 전개할 수 있다.

$$ P_x = \frac{1}{T_p}\int_{T_p}^{}{\left\vert x(t)^2 \right\vert dt}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$

$$ = \frac{1}{T_p}\int_{T_p}x(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k^{*}e^{-2\pi kF_0t}dt \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$

$$ = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k^{*}\frac{1}{T_p}\int_{T_p} x(t)e^{-2\pi kF_0t}dt \quad\quad\quad\quad [4.1.13] $$

추가로 설명하면 $$x(t)$$ 은 일반적으로 복소수(Comlex number)이므로 $$x(t)$$의 크기는 $$\left\vert x(t)^2 \right\vert = x(t)x(t)^{*}$$ 로 구할 수 있다.

식 [4.1.13]에서 $$\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k^{}e^{-2\pi kF_0t}$$ 가 $$x(t)^{}$$에 해당한다.

식 [4.1.13]에서 $$\frac{1}{T_p}\int_{T_p} x(t)e^{-2\pi kF_0t}dt$$ 는 푸리에 급수의 계수 $$c_k$$와 동일한 식이다. 따라서 식 [4.1.12]은 식[4.1.14]로 다시 쓸 수 있다.

$$ P_x = \frac{1}{T_p}\int_{T_p}^{}{\left\vert x(t)^2 \right\vert dt} =\sum_{k=-\infty}^{\infty} \left\vert c_k\right\vert^{2} \quad\quad\quad\quad [4.1.14] $$

정리하면 주기 신호 $$x(t)$$의 Power는 주기 신호를 구성하는 Harmonically 신호의 푸리에 계수의 합이라는 뜻이다. 이것이 Parseval 정리이다.

예를 들어 주기 신호 $$x(t) = c_ke^{j 2\pi k F_0t}$$ 가 있다면 신호 $$x(t)$$의 평균 전력 $$P_x$$는 $$\left\vert c_k \right\vert ^2$$ 이다.

이 뜻을 명확하게 하기 위해 전력 밀도 스펙트럼을 [그림 1]과 같이 그려볼 수 있다.

[그림 1]

[그림 1]에서 x축은 주기 신호 $$x(t)$$를 구성하고 있는 Harmonically 함수 들의 주파수들을 나타낸 것이다. $$F_0$$는 신호 $$x(t)$$의 기본 주파수다.

[그림 1]의 y축은 푸리에 급수의 계수 크기이다. 각각의 Harmonically 주파수에 해당하는 푸리에 계수를 [그림 1]처럼 나타낼 수 있다.

이를 통해 주기 신호의 주파수 축 상에서 특징을 확인할 수 있다.

특징 중 하나는 주기 신호는 주파수(스펙트럼) 축 상에서 유한한(discrete) 값으로 존재한다. 주파수 축에서 Harmonically 관계의 주파수에서만 성분이 존재하고 나머지 주파수에서는 성분이 존재하지 않는다는 뜻이다. 이는 [그림 1]에서 확인할 수 있다.

그리고 인접한 주파수 성분의 간격은 주기 신호의 기본 주파수인 $$F_0$$이며 주기 $$T_p$$ 의 역수이다.

4.1.1 The Fourier Series for Continuous-Time Periodic Signals

Mon, 15 Apr 2024 13:02:24 GMT

푸리에 급수(Fourier Series)란 주기 신호를 Harmonically related 관계의 정현파 신호들의 가중합으로 표현할 수 있다는 정의이다.

1.3.3 Harmonically Related Complex Exponentials 에서 우리는 Harmonically 관계에 있는 정현파 신호의 합을 식 [4.1.1]로 표현 했다.
$$ x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad[4.1.1] $$

간단히 설명하자면 $$e^{j 2 \pi F_0t}$$ 는 기본 주파수 $$F_0$$을 갖는 정현파 신호이다. 이 때 정수 $$k$$를 $$-\infty < k < \infty$$ 까지 기본 주파수에 곱한 $$e^{j 2 \pi k F_0t}$$ 는 $$e^{j 2 \pi F_0t}$$ 의 Harmonically Related 의 정현파 신호이다.

여기에 $$c_k$$를 곱해서 Harmonically Related 관계에 있는 신호에 다른 가중치를 곱해주는 것이다. 이렇게 함으로써 모든 주기신호는 Harmonically Related 관계의 신호의 합으로 표현 가능하다. 이것이 푸리에 급수(Fourier Series) 이다.

주기 신호 $$x_a(t)$$ 의 기본 주파수가 $$F_0$$ 일 때 식 [4.1.1]의 우항으로 $$x_a(t)$$를 나타낼 수 있는 것이다.

그러나 식 [4.1.1]의 우항을 완성 시키기 위해서는 $$c_k$$를 구해야 한다. 어떻게 구하는지 알아 보자.

먼저 기본 주파수 $$F_0$$ 기본 주기 $$T_p$$를 가지는 주기 신호 $$x(t)$$ 가 있다고 가정해보자.

먼저 식 [4.1.1]의 양변에 $$e^{-j 2\pi F_0 lt}$$ 를 곱해 보자. 그런 다음 양변에 $$\int_{t_0}^{t_0+T_P}$$ 취해 보자. 그러면 식 [4.1.2]가 만들어 진다.

$$ \int_{t_0}^{t_0+T_P}x(t)e^{-j2\pi l F_0t}dt = \int_{t_0}^{t_0+T_P}e^{-j2\pi l F_0t}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \right)dt \quad\quad\quad [4.1.2]$$

식 [4.1.2]의 우항을 먼저 계산 해보자. 계산을 위해 식 [4.1.2] 우항의 적분과 시그마의 순서를 바꾸고 exponential 항끼리 곱한다. 그러면 식 [4.1.3]이 유도 된다.
$$ \int_{t_0}^{t_0+T_P}e^{-j2\pi l F_0t}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \right)dt \ =\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\int_{t_0}^{t_0+T_P}e^{j2\pi (k-l) F_0t}dt \ = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \left[\frac{e^{j2\pi F_0(k-l)t}}{j 2\pi F_0(k-l)} \right]^{t_0+T_p}_{t_0} \quad\quad\quad [4.1.3]$$

$$k = l$$ 일 때 $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \left[\frac{e^{j2\pi F_0(k-l)t}}{j 2\pi F_0(k-l)} \right]^{t_0+T_p}_{t_0} = c_lT_p \quad\quad\quad k = l \ 일 \ \ 때$$

이렇게 식 [4.1.1]의 우항이 $$c_lT_p$$로 간소화 되었다. 이것을 식 [4.1.2]에 좌항과 비교하면 $$c_l$$는 식 [4.1.4]와 같다.

$$ c_l = \frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_P}x(t)e^{-j2\pi l F_0t}dt \quad\quad\quad [ 4.1.4]$$ 이 때 첨자 $$l$$을 첨자 $$k$$로 바꿔주면 계수 $$c_k$$를 구할 수 있게 된다.

따라서 푸리에 급수의 최종식을 다시 쓰게 되면

$$ x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad\quad[4.1.8]$$

$$ c_k = \frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_P}x(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.9]$$

로 표시할 수 있게 된다.

1.4.1 Sampling of Analog Signals

Sun, 14 Apr 2024 02:53:32 GMT

샘플링(Sampling)이란 아날로그(연속 시간) 신호를 디지털(이산 시간) 신호로 바꾸는 과정을 말한다.

아날로그 신호는 시간축에 실수 전체에서 유효한데 이는 곧 값이 무한개라는 뜻이다. 컴퓨터는 무한개의 값을 처리할 수 없기 때문에 샘플링 과정을 통해 연속 시간 축을 이산 시간 축으로 바꿔야 한다.

이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.
$$ x(n) = x_a(nT) \quad\quad\quad -\infty < n < \infty \quad\quad\quad\quad [1.4.1] $$ $$ T = Sampling Period \x(n) = 이산 \ 시간 \ 신호 \ x_a(t) = 연속 \ 시간 \ 신호 $$

식을 해석해보면 연속 시간 신호의 시간축을 $$T$$ 초의 간격으로 선택하여 이산 시간 신호로 바꾸는 것이다. 누군가는 이렇게 질문할 수 있다.

"무한개의 연속 시간 값을 $$T$$ 간격으로 선택한다고 유한개가 되는 것은 아니지 않나요?"

이에 대한 답은 다음과 같다. 연속 시간 신호가 0~~1초 사이에 있다면 0~~1초 사이에도 무한개의 시간 값이 있다. 하지만 0~1초를 $$T$$의 간격으로 선택한다면

$$\frac{1}{T}$$ 개의 유한개의 시간 값이 있을 것이다. 이것이 연속 시간 신호를 이산 시간 신호로 바꾸는 샘플링이다.

이 때, $$T$$ 를 Sampling Frequency 로 정의하고 $$\frac{1}{T}$$ 를 Sampling Rate 로 정의한다.
따라서 연속 시간 축 $$t$$와 이산 시간 축 $$n$$은 [그림 1]과 같이 표현할 수 있다.

[그림 1]

예를 들어 [그림 1]과 같은 상황일 때는 연속 시간 축은 실수 전체에서 정의 됐지만, 이산 시간으로 바뀔 때는 $$nT$$에 해당하는 축에서만 정의된다. 샘플링 주기 $$T$$의 역수는 샘플링 주파수 $$F_s = \frac{1}{T}$$이므로 식 [1,4,2]과 같이 쓸 수 있다.
$$ t = nT = \frac{n}{F_s} \quad\quad\quad\quad [1,4,2]$$
연속 시간 축과 이산 시간 축의 관계를 이해하기 위해 식 [1,4,3]과 같은 연속 시간 정현파 함수가 있다고 가정하자.

$$ x_a(t) = Acos(2 \pi Ft + \theta) \quad\quad\quad\quad [1,4,3] $$

[그림 2] -출처 : Digital Signal Procesesing - Prokias

[그림 2]의 왼쪽 그림과 같이 연속 시간 축 $$t$$는 실수 전체에서 정의 되었지만, [그림 2]의 오른쪽 그림과 같이 샘플링 된 이 후, 연속 시간 축은 $$nT$$로 정의된다.

이를 식 [1,4,4]로 표현하면 아래와 같다.

$$ x_a(nT) = x(n) = Acos(2 \pi F nT +\theta) \quad\quad\quad\quad [1,4,4] $$

연속 시간 신호는 $$nT$$ 에서만 정의되기 때문에 유한한 값이 되고 $$x_a(nT)$$ 이산 시간 신호이다. 그리고 구분을 위해 주기 $$T$$와 밑첨자 $$a$$를 생략하여

이산 신호인 $$x(n)$$으로 표현하게 된다.

연속 시간 신호의 기본 주파수와 이산 시간 신호의 기본 주파수의 사이의 관계도 정의할 수 있다.
$$ f = \frac{F}{F_s} \quad\quad\quad\quad [1,4,5] $$

이산 시간 신호의 기본 주파수 $$f$$는 식 [1,4,4]에서 $$FT$$ 이고 샘플링 주기 $$T$$는 샘플링 주파수 $$\frac{1}{F_s}$$의 역수와 같기 때문이다. 따라서 [식 1,4,5]가 유도된다.

1.3.2 장에서 연속 시간 주파수의 범위를 식 [1,4,7]로 정의한 적이 있다. (이해가 안되면 장 1,3,2 로 이동)
$$ -\infty < F < \infty \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ -\infty < \Omega < \infty \quad \quad \quad \quad [1,4,7]$$

짧게 설명하면 연속 시간 신호의 기본 주파수가 다르면 신호 역시 다르다(구분된다) 라는 것이다.

그러나 이산 시간 신호는 기본 주파수가 $$2 \pi$$ 만큼 차이나면 간섭(Alias)가 일어난다. 따라서 이산 시간 신호의 주파수는 $$2\pi$$ 범위 내에서 정의 된다.

식으로 표현하면 [1,4,8]과 같다.
$$ -\frac{1}{2} < f <\frac{1}{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$ -\pi < w < \pi \quad\quad\quad\quad [1,4,8]$$

식 [1.4.5]를 식 [1.,4,8]에 대입하면 식 [1,4,9]가 만들어 진다.
$$ -\frac{F_s}{2} <= F <= \frac{F_s}{2} \quad\quad\quad\quad [1,4,9] $$

식 [1.4.9]의 뜻은 연속 시간 신호를 샘플링 속도 $$F_s$$의 속도로 이산 시간 신호로 바꿀 때, 바꿀 수 있는 연속 시간 신호의 기본 주파수의 범위는 샘플링 주파수의 범위의 절반이라는 뜻이다.

이 뜻은 특정 샘플링 속도가 정해진다면 묘사할 수 있는 연속 시간 신호의 기본 주파수 범위는 제한된다는 점이다.

이해가 안간다면 아래 예시를 참고해보자.
$$ x_1(t) = cos 2\pi (10)t \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ x_2(t) = cos 2\pi (50)t \quad\quad\quad\quad [ 1,4,12]$$

위 두 신호가 있다. 샘플링 주파수 $$F_s =40 Hz$$ 로 설정했을 때 어떤 현상이 발생하는지 살펴보자.

샘플링 주파수가 정해졌으므로 연속 시간 신호를 이산 시간 신호로 바꿀 수 있다. 식 [1,4,5]를 통해 이산 시간 신호 식[1,4,13]을 만들 수 있다.
$$ x_1(n) = cos2\pi(\frac{10}{40})n = cos\frac{\pi}{2}n \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$ x_2(n) = cos2\pi(\frac{50}{40})n = cos\frac{5\pi}{2}n \quad\quad\quad\quad [1,4,13]$$

식에서 $$x_1(n)$$의 주파수는 10Hz이고 $$x_2(n)$$의 주파수는 50Hz임을 확인 가능하다.

이 때 $$cos\frac{5\pi}{2} = cos\frac{\pi}{2}n$$ 이므로 결국 $$x_1(n)$$ 과 $$x_2(n)$$은 같은 신호이다.

샘플링 주파수가 40Hz였기 때문에 묘사할 수 있는 연속 시간 주파수의 범위는 $$-20 < F < 20$$ 이고 50Hz는 해당 범위를 벗어났기 때문에 10Hz로 간섭(Alias)가 일어났다.

즉 이산 시간 신호 입장에서는 두 신호를 구분할 수 없다는 것이다. 그러므로 샘플링 과정은 모호성(Ambiguity)의 특징을 가지게 된다.

일반적으로 말하면 기본 주파수 $$F_0$$를 가지는 연속 시간 신호와, 기본 주파수 $$F_0 + k F_s$$ 를 가지는 연속 시간 신호는 이산 신호 관점에서 구분 할 수 없다.

모호성을 [그림 3]에서 잘 나타내주었다.

[그림 3] - 출처 : Digital Signal Procesing - Prokias

연속 시간 신호의 관점에서 두 신호는 구분 되지만, 이산 시간 신호 관점에서 두 신호는 구분되지 않는 것을 확인 할 수 있다.

식[1,4,9]를 다시 봐보자.
$$ -\frac{F_s}{2} <= F <= \frac{F_s}{2} \quad\quad\quad\quad [1,4,9] $$

이를 바꿔서 표현하면 다음과 같다.
$$ -F_s <= 2F <= F_s \quad\quad\quad\quad [1,4,9] $$

이 뜻은 만약 기본 주파수 $$F$$를 가진 연속 시간 신호를 샘플링하기 위해서는 기본 주파수의 2배 이상의 속도로 샘플링 주파수를 설정해야 한다는 것이다.

이것이 나이퀴스트 샘플링 이론이다. 바꿔 말하면 연속 시간 신호를 간섭(Alias)없이 이산 시간으로 묘사하기 위해 필요한 최소 샘플링 주파수를 식 [1,4,9]에서 확인할 수 있다.

1.3.3 Harmonically Related Complex Exponentials

Sat, 13 Apr 2024 14:42:30 GMT

조화 신호라고 해야할까..?? 한국말 표현을 잘 모르겠다.

Harmonically Related Complex Exponentials은 정현파 신호의 기본 주파수의 정수배를 가지는 신호들을 말한다.

예를 들어 기본 주파수가 $$\Omega_0$$ 인 연속 시간 정현파 신호를 복소 지수 함수(Complex Exponentials) 형태로 표현하면 아래와 같다. (위상은 생략)
$$ x(t) = e^{j(\Omega_0 t)}$$ 즉 기본 주파수 $$\Omega_0$$의 정수배인 $$k\Omega_0$$ 를 가지는 정현파 신호들을 Harmonically Realted Complex Exponentials 라고 한다. 이를 식 [1.3.16]으로 표현할 수 있다.

$$ s_k(t) = e^{j(k\Omega_0t)} = e^{j2\pi k F_0 t} \quad 단 \ k는 \ 정수\quad\quad\quad [1.3.16]$$

$$ s_k(t) = Harmonically \ \ Complex \ \ \ Exponential$$

$$s_k(t)$$ 로 표현되는 정현파 신호의 기본 주파수는 $$kF_0$$ 이다. 연속 시간 정현파 신호에서 주파수의 범위는 실수 전체이기 때문에 다른 주파수를 가진 연속 시간 정현파 신호는 그 자체로 유일(구분)하다.

주의할 점은 기본 주파수와 Harmonically Related를 헷갈리면 안된다. 기본 주파수는 주기 신호를 시간 축에서 평행이동 하여 겹치게 만드는 값들 중 절댓값이 가장 작은 수를 의미한다. 반면 Harmonically는 특정 기본 주파수를 가진 신호와 그 기본 주파수의 정수배를 가지는 다른 신호와의 관계를 의미한다.

모든 연속 시간 신호는 기본 주파수 $$f_0$$를 가지는 정현파 신호와 Harmonically Related 된 신호의 합으로 표현이 가능하다. 이것을 푸리에 급수라고 한다. 이해가 안되면 [그림 1]을 참고해보자

[그림 1]

[그림 1]에서는 사각 파형을 만들기 위해 수많은 정현파 신호를 더했다. 기본 주파수의 정현파 함수를 기반으로 Harmonically 관계에 있는 정현파 신호를 모두 더하여 원하는 신호를 만드는 것이다.

이를 식 [1.3.17]로 표현할 수 있다.

$$ x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ks_k(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j k\Omega_0t} \quad\quad\quad[1.3.17] $$

이 식에서 핵심은 $$k\Omega_0$$ 이다. $$k =1$$일 때는 기본 주파수 $$\Omega_0$$ 에 $$c_1$$의 가중치를 갖는 신호를, $$k =2$$일 때는 Harmonically 관계의 $$2\Omega_0$$ 에 $$c_2$$의 가중치를 가지는 신호를 쭉 더해 나가는 것이다. 복수 지수 함수로 표현되어 있기 때문에 익숙 하지 않다면 아래 식을 참고 해서 이해해 보자.

$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j2\pi k\Omega_0t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(cos(2\pi k\Omega_0t)+ jsin(2\pi k\Omega_0t))$$

이제는 명확히 확인할 수 있다. cos함수와 sin함수의 Harmonically 관계의 신호의 합을 통해 연속 시간 신호를 표현할 수 있는 것이다.
이산 시간 신호도 연속 시간 신호와 마찬가지로 Harmonically 관계의 신호의 합으로 표현이 가능하다.

이산 시간 신호의 기본 주파수를 $$f_0$$라고 하면 이 신호의 Harmonically 관계의 신호는 식 [1.3.18]로 표현이 가능하다.

$$ s_k(n) = e^{j(k\Omega_0n)} = e^{j2\pi k f_0 n} \quad 단 \ k는 \ 정수\quad\quad\quad [1.3.18]$$

여기서 중요한 차이가 발생한다. 연속 시간 신호는 모든 주파수에 대해 유일하기 때문에 기본 주파수가 다르면 전부 다른 신호이다.

그러나 이산 시간 신호는 $$-\pi <= w <= \pi$$ 범위에서만 주파수가 유일하기 때문에 이 범위를 벗어나면 간섭(alias)가 일어난다.

따라서 $$s_k(n) = s_{k+N}(n)$$ 을 만족한다. 이해가 안되면 [그림 2]를 참고해보자.

[그림 2]

[그림 2]에서 두 개의 빨간색 화살표와 두 개의 파란색 화살표는 $$2\pi$$ 만큼의 차이를 가지고 있다. 주파수가 $$2\pi$$ 차이가 난다는 것은 이산 시간 신호에서는 한 주기가 차이난다는 뜻이다. 이산 시간 신호의 주파수는 $$-\pi <= w <= \pi$$ 범위에서만 유일하기 때문에 이 범위 밖의 주파수는 간섭(Alias)가 일어난다.

따라서 모든 Harmonically 신호 역시 $$-\pi <= w <= \pi$$ 범위에서만 유일하기 때문에 이 범위를 넘어서는 신호는 모두 Alias가 일어난다.

이를 식 [1.3.19]로 표현하면 아래와 같다.
$$ x(n) = \sum_{k=0}^{N-1} c_ks_k(n) = \sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j k w_0n} \quad\quad\quad[1.3.19] $$

여기서 이산 시간 신호의 기본 주파수는 $$f_0$$이다. 기본 주파수는 유리수 형태(분수꼴)의 $$\frac{1}{분모}$$에 해당한다. 따라서 $$f_0 = \frac{1}{N}$$ 이라고 하면

식 [1.3.19]는 아래와 같이 변형된다.
$$ \sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j k w_0n} = \sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j 2\pi k\frac{n}{N}}\quad\quad\quad[1.3.19] $$

이를 통해 연속 시간 신호와 이산 시간 신호의 Harmonically의 합을 통해 모든 신호를 표현할 수 있음을 배웠다.

1.3.2 Discrete-Time Sinusoidal Signals

Sat, 13 Apr 2024 11:10:43 GMT

이산 시간 정현파 신호 (Discrete-Time-Sinusoidal-Singal)은 수식 [1.3.7] 같이 표현 가능하다.

$$ x(n) = Acos(wn \ + \ \theta) \quad -\infty < n <\infty \quad\quad\quad\quad[1.3.7]$$ $$ w = 각 주파수$$ $$ n = 이산 \ \ 시간$$ $$ \theta = 위상 $$

연속 시간 신호에서 각주파수는 $$\Omega$$로 표현했지만 구분을 위해 이산 시간 신호에서 각주파수는 $$\omega$$로 표현한다.

이산 시간에서 각주파수는 [1.3.8] 과 같이 표현한다.

$$ w = 2\pi f \quad\quad\quad\quad\quad [1.3.8] $$
수식 [1.3.8]이 이해가 가지 않는다면 포스팅 1.3.1 Continuous-Time Sinusoidal Signals에 자세히 설명되어 있다.

수식 [1.3.7]에 수식 [1.3.8]을 대입하면 수식 [1.3.9]가 만들어진다.
$$ x(n) = Acos(2\pi fn \ + \ \theta) \quad -\infty < n <\infty \quad\quad\quad\quad[1.3.9]$$

각주파수와 마찬가지로 연속 시간 신호에서 주파수는 $$F$$로 표현했지만 구분을 위해 이산 시간 신호에서 주파수는 $$f$$로 표현한다.

이산 시간 신호의 각주파수 $$w$$는 연속 시간 신호의 각주파수 $$\Omega$$와 차이를 보인다. 설명을 위해 [그림 1]을 참고 해보자.

[그림 1]

[그림 1]의 위쪽 신호는 연속 시간 정현파 신호이고 [그림 1]의 아래쪽 신호는 이산 시간 정현파 신호이다.

연속 시간 정현파 신호의 각 주파수 $$\Omega$$는 1초당 진동(회전)하는 라디안이므로 단위가 radian/sec 이다. [그림 1]에서 $$\Omega$$는 $$2\pi$$이다.

반면 이산 시간 정현파 신호의 각 주파수 $$w$$ 는 1초 동안 샘플링된 데이터당 진동(회전)하는 라디안이므로 단위가 radian/sample 이다.

[그림 1]에서 이산 시간 정현파 신호는 1초 동안 12번의 샘플링이 일어났고 주기는 12 Samples 이다. 따라서 이산 시간 정현파 신호의 각 주파수 $$w$$는 $$\frac{\pi}{6}$$ 이다.
이산 시간 정현파 신호는 3가지 특성을 가지고 있다.

** 첫번째. 이산 시간 정현파 신호의 각주파수는 유리수(Rational Numbe)로 표현 된다.** 명확한 증명은 아래와 같다.
이산 시간 정현파 신호는 연속 시간 정현파 신호와 동일하게 주기 신호(Periodic Signal)이다. 주기 신호는 식 [1.3.10] 처럼 표현 가능하다.
$$ x(n+N) \ = \ x(n) \quad\quad\quad for \ all \ n \ \ \ and \ \ \ (단 \ N \ >0) \quad \quad \quad \quad [1.3.10] $$ $$ N = 이산 \ 시간 \ 정현파 \ 신호의 \ 주기 $$

이산 시간 신호는 시간이 양수 일 때 부터 연속 시간 신호를 샘플링하기 때문에 $$n$$ > 0 이다. 따라서 이산 시간 신호의 주기 $$N$$ 도 0보다 크다.

주기 신호이기 때문에 주기 $$N$$의 정수배 만큼 시간축에서 평행이동 하면 동일한 파형이 나온다. 수식 [1.3.10]을 만족하는 주기 $$N$$의 후보 중 절댓값이 가장 작은 주기를 기본 주기(Fundamental Periodic)이라고 한다. 그리고 기본 주기의 역수를 기본 주파수라고 한다.
예를 들어 기본 주파수가 $$f_0$$ 인 이산 시간 정현파 신호가 있다고 가정하자. 이 신호는 주기 신호이기 때문에 식 [1.3.10]을 식 [1.3.9]에 대입하여 식 [1.3.10.1]로 표현할 수 있다.
$$ cos[2 \pi f_0(N+n) + \theta \ ] = cos[2 \pi f_0n + \theta \ ] \quad \quad \quad \quad [1.3.10.1] $$

식 [1.3.10.1]을 잘 살펴보면 괄호 안에 $$2\pi f_0N$$ 이 없어진 것을 확인할 수 있다. 즉 cos 함수 내에서 아무역할을 할 수 없는 것이다.

$$cos(2k\pi+\theta)$$ 는 $$cos\theta$$ 로 표현할 수 있다. 결국 $$2\pi f_0N$$는 $$2k\pi$$로 표현이 가능하기 때문에 생략이 된 것이다.

$$2\pi f_0N = 2k\pi$$ 이기 때문에 식 [1.3.11]이 유도된다.

$$ f_0 = \frac{k}{N} \quad\quad\quad\quad [1.3.11] $$

따라서 이산 시간 정현파 신호의 주파수 $$f_0$$는 유리수 이며 $$k$$와 $$N$$이 서로소(Relatively Prime)일 때 분모 $$N$$이 이산 시간 정현파 신호의 주기가 된다. 그리고 $$\frac{1}{N}$$이 이산 시간 정현파 신호의 기본 주파수가 된다.
** 두번째. 이산 시간 정현파 신호의 주파수가 $$2\pi$$가 차이나는 서로 다른 이산 시간 정현파 신호는 동일하다. **
$$ cos[(w_0 \ + 2\pi)n + \theta)] = cos(w_0n\ + \ 2\pi n \ + \theta) = cos(w_0 n +\theta) \quad\quad\quad\quad [1.3.12]$$

여기서 각 주파수 $$w_k$$를 가지고 $$w_k = w_0 + 2k\pi$$를 만족하는 이산 시간 정현파 신호가 있다고 가정하면 아래와 같이 표현이 가능하다. $$ x_k(n) = Acos(w_k n +\theta) \quad\quad k = 0,1,2, ... \quad\quad\quad [1.3.12.1]$$ $$ w_k = w_0 + 2k\pi$$

즉 $$w_0 = w_k$$이다. 결국 $$Acos(w_kn+\theta)$$와 $$Acos(w_0n+\theta)$$가 동일한 이산 시간 신호 정현파 이다.

결국 이산 시간 정현파 신호는 각 주파수가 $$2\pi$$ 인 범위 내에서 모든 신호를 표현할 수 있다. 따라서 이산 시간 정현파 신호의 각 주파수를

$$-\pi <= w <= \pi$$ 의 $$2\pi$$ 범위로 제한할 수 있다. (왜 0 <= $$w$$ <= $$2\pi$$ 로 안했냐고 묻는다면 정확히는 모른다... 수식 전개를 쉽게 하려고 한 듯..)

이 특성은 연속 시간 정현파 신호와 큰 차이를 보인다. 연속 시간 정현파 신호는 모든 각 주파수에 대해서

유일한 신호를 가졌다면 이산 시간 정현파 신호는 $$-\pi <= w <= \pi$$ 범위 내에서 유일한 신호를 가진다.

$$-\pi>w$$ , $$w > \pi$$ 인 범위에서 이산 시간 정현파 신호는 $$-\pi <= w <= \pi$$ 의 신호와 동일한 신호가 존재하게 된다. 이해가 안되면 그림 2를 참조하자

[그림 2]

[그림 2]에서 별 위치에 있는 $$w$$값은 $$w-2\pi$$ 위치인 별과 동일한 신호이고 네모 위치에 있는 $$w$$역시 $$w-2\pi$$ 위치의 네모와 동일한 신호인 것이다.

이러한 현상을 간섭(alias)라고 한다.

연속 시간 정현파 신호의 각주파수는 모든 실수 범위에서 유일하기 때문에 간섭(alias)가 발생하지 않는다.
세번째. $$w = \pi$$ 일 때 이산 시간 정현파 신호는 가장 빠르게 진동한다.

당연한 말이다. 각 주파수가 클수록 정현파 신호는 가장 빠르게 진동한다. 이산 시간 각 주파수의 범위는 $$-\pi <= w <= \pi$$ 이므로 $$w=\pi$$에서 가장 큰 값이다.

1.3.1 Continuous-Time Sinusoidal Signals

Sat, 13 Apr 2024 10:39:13 GMT

연속시간에서 정현파(Sinusoidal) 함수는 아래와 같다.

$$ x_a(t) = A \cos(\Omega t + \theta) \quad -\infty < t < \infty \quad\quad\quad\quad\quad\quad [1.3.1] $$

$$ \Omega = 각주파수 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$

$$ t = 시간 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ $$ \theta = 위상 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$

여기서 각주파수의 의미를 잘 파악해야 한다. $$\Omega$$ 는 정현파 함수가 얼마나 빨리 회전하는지를 의미한다.

이해가 안가면 아래의 [그림 1] 을 참고 해보자.

[그림 1]

만약 $$\Omega$$ 가 $$2\pi$$ 라고 가정해보자. 이 뜻은 왼쪽 원에서 화살표가 1초에 $$2\pi$$ 라디안 (360도)를 회전한다는 의미이다.

[그림 1]의 왼쪽 원 화살표의 높이를 점선으로 이어보면 [그림 1]의 오른쪽과 같은 정현파 함수가 그려진다.

오른쪽 정현파 함수를 보면 사인(Sine)함수의 파형을 나타내는데 주기가 1초이고 주파수는 1Hz 임을 확인할 수 있다.

[그림 2]

만약 $$\Omega$$가 $$4\pi$$ 라고 가정해보자 이 뜻은 왼쪽 원에서 화살표가 1초에 $$4\pi$$ 라디안 (720도) 를 회전한다는 의미이다. [그림 2]의 오른쪽 정현파 함수를 보면 사인 함수의 파형의 주기는 0.5초이고 주파수는 2Hz 임을 확인 할 수 있다.

여기서 $$\Omega$$ 와 정현파 함수의 주기 $$T$$, 주파수 $$F$$의 관계를 확인 할 수 있다.

$$ \Omega = 2\pi F = \frac{2\pi}{T} \quad\quad\quad [1.3.2] $$

즉 주파수 $$F$$가 1이면 정현파 함수는 1초에 $$2\pi$$의 각속도로 진동(회전)하고 주파수 $$F$$가 2이면 정현파 함수는 1초에 $$4\pi$$의 각속도로 진동(회전)한다.

수식 (1.3.1)과 수식(1.3.2)를 조합하면 수식 (1.3.3)이 완성된다.

$$ x_a(t) = A \cos(2\pi Ft + \theta) \quad -\infty < t < \infty \quad\quad\quad\quad\quad\quad [1.3.3]$$

수식 (1.3.3)으로 표현되는 정현파 함수는 [그림 2]에서와 같이 주기성(periodic)을 가진다. 주기성을 가지는 신호를 주기 신호(Periodic Signal)라고 한다. 연속 시간 정현파 신호는 아래 3가지 특성을 가진다.

*첫번째. 연속 시간 정현파 신호를 주기의 정수배만큼 x축으로 평행 이동 해도 동일한 파형을 나타낸다. *

수식으로 표현하면 (1.3.3.1)과 같다.

$$ x_a(t+T_p) = x_a(t) \quad \quad\quad\quad\quad[1.3.3.1]
$$
$$T_p$$는 기본 주기(fundamental period)라고 정의 한다. 기본 주기는 절대값이 가장 작은 주기를 의미한다.

예를 들어 [그림 2]에서 주기는 0.5이다. 이 신호는 x축으로 0.5의 정수배만큼 평행 이동 시켜도 동일한 모양을 유지한다.

이때 절댓값이 가장 작은 0.5가 신호의 기본 주기가 된다.

*두 번째. 연속 시간 정현파 신호는 기본 주기 $$T_p$$가 다르면 그 자체로 유일하다. *

쉽게 풀어말하면 기본 주기가 1인 정현파 신호와 기본 주기가 2인 정현파 신호는 서로 다른 유일한 신호라는 뜻이다.

이는 연속 시간 정현파 신호의 중요한 특성이다. 다른 의미로는 기본 주기의 범위는 1 ~ $$\infty$$ 까지 가능하고 이 범위 내에서 기본 주기를 가지는

연속 시간 정현파 신호는 모두 다른 신호이다.

세 번째. 정현파 신호의 주파수 $$F$$가 커지면 신호의 진동수가 많아진다.

[그림 1]과 [그림 2]에서 확인할 수 있듯이 주파수가 커질수록 1초동안 진동하는 횟수가 많아진다.

수식 (1.3.1)은 실수 평면(Cartesian 좌표계)에서 표현되었다. 하지만 수식의 편의성을 위해 복소 평면에서 연속 신호 정현파 신호를 표기할 수 있다.
$$ x_a(t) = Ae^{j(\Omega t + \theta)} \quad\quad\quad\quad [1.3.4]$$ $$ e^{\pm j\theta} = cos\theta \ \pm \sin\theta \quad\quad\quad[1.3.5]$$ $$ x_a(t) = Acos(\Omega t \ + \theta) = \frac{A}{2}e^{j(\Omega t + \theta)} \ + \frac{A}{2}e^{-j(\Omega t + \theta)} \quad\quad\quad\quad [1.3.6] $$

수식 (1.3.1)은 오일러 공식 (1.3.4) , (1.3.5)를 활용해 (1,3,6)으로 표현 가능하다.

(1.3.6)의 우항에서 표현되는 $$\frac{A}{2}e^{j(\Omega t + \theta)}$$ 와 $$\frac{A}{2}e^{-j(\Omega t + \theta)}$$는 서로 켤례 복소수(Complex-Conjugate) 관계이다. 이를 복소 평면에서 나타내보면

[그림 3]이다.

[그림 3]

$$\frac{A}{2}e^{j(\Omega t + \theta)}$$ 는 [그림 3]의 위쪽 화살표(벡터)를 의미하고 반시계 방향으로 회전한다.

반대로 $$\frac{A}{2}e^{-j(\Omega t + \theta)}$$ 는 [그림 3]의 아래쪽 화살표(벡터)를 의미하고 시계 방향으로 회전한다.

즉 Cos함수는 진폭 $$A$$의 절반의 크기를 가지고 각주파수가 $$\Omega$$인 벡터와 진폭 $$A$$의 절반의 크기를 가지고 각주파수가 $$-\Omega$$인 벡터로 표현이 가능하다.

DSP 기초 1 - Sampling

Sun, 03 Mar 2024 08:36:20 GMT

안녕하세요 Eggmo입니다.

이번 블로그 포스팅 주제는 DSP의 가장 기초가 되는 Sampling 이론입니다.

목적

Sampling 이론을 이해할 수 있다.
Sample-Rate, Sample-Period 단어를 명확히 이해할 수 있다.
MATLAB을 통해 디지털 신호를 묘사할 수 있다.
Verilog에서 Sampling을 바라보는 관점을 이해할 수 있다.

배경 지식

우리가 보고 듣는 모든 신호는 연속 시간 신호이다. 말 그대로 시간 축에서 연속하다는 뜻이다. [그림 1]은 연속시간 신호의 예시이다.

[그림 1]

위 그림은 1초 주기의 Sin 파형이다. x축은 시간, y축은 값이다.

그림 1에서의 신호는 모든 시간에 대해 값이 존재한다. 이를 연속 시간 신호(Continuous Time Signal) 이라고 한다. 디지털 세계에서는 위와 같은 연속 시간 신호를 처리할 수 없다. 그 이유는 값이 무한개 이기 때문이다. 상식적으로 생각해보자. 아이폰에 사진을 무한개 저장할 수 없듯이, 디지털 세계에서 무한개의 값은 처리할 수 없다.

따라서 연속 시간을 특정 간격으로 쪼개서 값을 유한개로 만들어 줘야 한다. [그림 2]를 보자.

[그림 2]

[그림 2]는 1초 주기의 연속 시간 Sin 신호를 0.05초 간격으로 값을 선택하고 나머지 값은 버렸다. 선택된 값은 빨간색 동그라미로 표시하였다. 빨간색 동그라미 사이의 값들은 실제로 버려졌다. 따라서 특정 값만 선택된 신호는 [그림 3]과 같이 표현된다. 이를 이산 시간 신호(Discrete Time Signal) 이라고 한다.

[그림 3]

그림1~3을 통해 아래와 같이 단어를 정의할 수 있다.

연속 시간 신호에서 특정 간격으로 값을 선택해 이산 시간 신호로 바꾸는 과정을 Sampling 이라고 정의 한다.
이산 시간 신호의 x축 간격을 Sample Period로 정의 한다. 즉 선택된 샘플간의 시간 간격을 의미한다. [그림 3]에서 Sample Period 는 0.05초이다.
Sample Period의 역수를 Sample Rate로 정의 한다. 1초간 몇개의 샘플이 선택됐는지를 의미한다. [그림 3]에서 Sample Rate는 20Hz이다.

MATLAB 모델링

아래 코드는 1초 주기의 Sin 파형을 SamplePeriod = 0.05로 설정하여 이산 시간 신호로 표현하는 MATLAB 코드이다.

close all;
clear all;

SamplePeriod = 0.05;
SampleRate = 1/SamplePeriod;
t = linspace(0, 1, SampleRate);

sig = sin(2*pi*1*t);
stem(t, sig);

이를 통해 모뎀 신호를 묘사할 때 Sampling 이론을 통해 값을 묘사할 수 있게 되었다.

Verilog 모델링

실제로 Sampling을 Verilog로 묘사하는 방법은 클럭이다.

[그림 2]의 신호를 Verilog로 묘사하는 방법은 SampleRate의 클럭을 설정하면 된다.

module sample_test;
    parameter CLK_PERIOD = 0.05
    reg clk = 0;
    always #(CLK_PERIOD/2) clk = ~clk;
endmodule;

클럭의 Postive Edge 마다 값이 표시 되기 때문에 SamplePeriod 간격마다 시스템 클럭에서 상승엣지를 만들어주면 이산 시간 신호를 모델링 할 수 있다.

다만 Sample Period와 시스템 동작 클럭이 항상 일치 하지 않을 수 있다. 위 코드는 설명의 편의를 위해 Sample Period와 시스템 동작 클럭이 일치하다고 가정한 상태이다. 실제로는 두 클럭이 다를 수 있다.

이를 통해 Sampling이론을 및 MATLAB, Verilog를 통해 이해할 수 있다.

개발자 블로그 시작

Thu, 15 Feb 2024 13:38:05 GMT

안녕하세요 eggmo 입니다.

2023년 4월 부터 모뎀 FPGA 관련 회사에 재직중입니다. 관심 분야는 Digital Signal Processing, 무선 통신 모뎀 알고리즘 개발 및 구현 입니다.

블로그를 쓰게된 계기

초보 엔지니어어가 이해할 수 있도록 쉽게 쓰여진 DSP, 모뎀 알고리즘 설명 블로그가 없다.
DSP 및 모뎀 알고리즘을 MATLAB 시뮬레이션 부터 Verilog 코딩까지 설명한 블로그가 없다.
eggmo의 개인 연구 노트 및 설명 전달력을 향상시키기 위해.

첫번째. 초보자의 입장에서 영어로 쓰여진 DSP책 및 복잡한 수식은 난해했습니다. 따라서 한국어로 된 읽기 쉽게 쓰여진 블로그를 통해 전달력 있게 이론을 전달드리려 합니다. 그 과정에서 수식이 사용된다면 이해하기 쉽게 풀어서 설명하도록 노력하겠습니다. 대학생 수준에서 이해할 수 있는 글을 쓰는게 목표입니다.

두번째. FPGA나 ASIC 개발자는 알고리즘을 MATLAB으로 시뮬레이션 하고 이를 Verilog로 구현하는 과정을 거칩니다. 이를 위해 여러 블로그를 참고하지만 MATLAB 시뮬레이션부터 Verilog 구현까지 설명해 놓은 블로그는 찾기 힘들었습니다. 이 블로그에서는 위 과정을 전부 기술하여 시뮬레이션 부터 구현까지의 과정을 자세히 작성할 예정입니다.

세번째. 현업에서 알게된 알고리즘을 정리하고 고민했던 과정을 정리하고자 블로그를 작성합니다.

최소 독자 수준

MATLAB 기초 문법을 알고 있거나, 모를 경우 구글링을 통해 검색할 수 있는 수준
대학교 1학년 수준의 수학 기초
Verilog 기초 문법을 알고 있거나, 모를 경우 구글링을 통해 검색할 수 있는 수준
## **마치며**

블로그 포스팅을 통해 초보 엔지니어가 기초 DSP이론을 이해하여 디지털 통신 모뎀을 설계할 수 있는 자양분을 얻어가셨으면 합니다. 글을 쓰는 시점에서 저 또한 초심자이기에 Coding Style이 세련되지 못하거나 부족한 부분이 많습니다. 코드는 단지 이해의 목적으로 활용해주시면 감사하겠습니다.

감사합니다.