이 글은 [랭체인으로 LLM 기반의 AI 서비스 개발하기] 도서를 읽고 개인 정리한 글입니다. 모르는 부분을 중심으로 TIL을 작성했습니다.

파인튜닝과 전이학습의 차이

파인튜닝과 전이학습은 모두 기존에 학습된 모델을 활용하여 새로운 작업을 수행하기 위한 방법이지만 접근 방식과 적용 범위에 차이가 있다.

• 전이학습(Transfer Learning) : 사전 학습된 모델의 지식(가중치)을 새로운 과제에 일부 또는 전체 활용하는 것이다. 예를 들어, 이미지넷으로 학습된 모델을 다른 이미지 분류 작업에 활용하는 것이 전이학습의 예시에 해당한다.

• 파인튜닝(Fine-Tuning) : 전이학습의 한 방식으로, 사전 학습된 모델 전체 또는 일부를 새로운 작업에 맞춰 추가 학습시키는 것이다. 전이학습의 하위 개념으로 볼 수 있으며, 전이학습 중에서도 특히 모델 파라미터를 수정하면서 학습하는 것을 말한다.

요약하자면 기존 모델의 지식을 활용하는 것은 전이학습이고, 기존 모델을 추가 학습으로 하여 새로운 작업에 최적화하는 것은 파인튜닝이다.

RAG에 대하여

• RAG(Retrieval-Augmented Generation) : 정보 검색(Retrieval)과 텍스트 생성(Generation)을 결합한 것으로, 단순히 학습된 지식만으로 답을 생성하는 것이 아닌, 외부 지식(문서 등)을 실시간으로 찾아 정확하고 신뢰도 높은 답변을 생성할 수 있다.

RAG는 정보 검색 단계와 텍스트 생성 단계를 포함한 두 단계로 구성되어 있다.

• 정보 검색 단계 : 사용자가 질문을 입력하면, 모델은 사전에 구축된 문서 데이터 베이스에서 질문과 관련된 가장 연관성 높은 문서들을 검색한다.

• 텍스트 생성 단계 : 검색된 문서와 사용자의 질문이 함께 LLM에 전달된다. 모델은 이 문서들을 바탕으로 질문의 의미를 이해하고, 검색한 정보와 모델이 알고 있는 지식을 결합하여 사용자의 질문에 대한 정확하고 구체적인 답변을 제공한다.

제로샷, 원샷, 퓨샷 러닝에 대하여

• 제로샷 러닝(Zero-Shot Learning) : 모델이 아무런 예시도 보지 않고 오직 질문만으로 작업을 수행하는 학습 방식이다. 사전 학습된 지식만을 바탕으로 문제를 해결하는데, 사람이 지시한 문장만으로 모델이 작업 의도를 파악해야 한다.

Q: 다음 문장을 영어로 번역하세요: "나는 학교에 갑니다."
A: # 예시 없이도 번역 결과를 생성할 수 있다.

• 원샷 러닝(One-Shot Learning) : 모델이 예시 1개만 보고 새로운 작업을 수행하는 방식이다. 새로운 작업에 대한 구조나 형식을 예시 하나로 학습한다.

Q: 한국어를 영어로 번역하세요.  
예시: "나는 집에 간다." → "I go home."  
Q: "나는 학교에 갑니다." →  # 예시 하나를 참고하여 새로운 문장도 같은 형식으로 번역할 수 있다.

• 퓨샷 러닝(Few-Shot Learning) : 보통 2 ~ 10개 정도의 예시를 보고 작업을 수행하는 방식이다. LLM이 작업의 패턴을 예시 몇 개를 통해 이해하는데, 가장 자연스럽고 효과적인 방식 중 하나이다. (ChatGPT도 기본적으로 이 방식을 사용한다.)

Q: 다음 문장을 영어로 번역하세요.  
"나는 집에 간다." → "I go home."  
"그녀는 밥을 먹는다." → "She eats rice."  
"나는 학교에 갑니다." → # 여러 예시를 보고 패턴을 파악한 뒤 문장을 번역할 수 있다.

클라우드 컴퓨팅 서비스 모델 - SaaS, PaaS, IaaS

• SaaS(Software as a Service) : 소프트웨어를 서비스 형태로 제공하는 것이다. 사용자는 소프트웨어를 설치하거나 관리할 필요 없이 웹을 통해 바로 사용할 수 있다.

• PaaS(Platform as a Service) : 개발에 필요한 플랫폼을 서비스로 제공하는 것이다. 사용자는 인프라를 신경쓰지 않고 애플리케이션 개발 및 배포에 집중할 수 있다.

• IaaS(Infrastructure as a Service) : 서버, 스토리지, 네트워크 등의 인프라를 가상화하여 제공하는 것이다. 사용자는 OS부터 애플리케이션까지 모두 직접 구성 가능하다.

RAG 구현 과정

RAG에서 정보 검색 단계의 전체 흐름은 다음과 같다.

1. 사용자 질문 입력

• 사용자가 자연어로 질문을 입력한다. 이 질문은 모델이 문서를 찾고 생성하기 위한 핵심 입력으로 작용한다.

2. 문서 검색 (Embedding + 검색 방식)

• 질문을 벡터로 변환하여 문서와 비교할 수 있게 한다. 질문 문장과 문서들을 임베딩(의미 기반 벡터 공간에 매핑)한다.

3. 유사도 계산 (키워드 또는 시멘틱 기반)

• 키워드 검색(Lexical Search) : 전통적인 방식으로, 검색에서 포함된 단어를 기준으로 문서를 찾는다.
• 시맨틱 검색(Semantic Search) : 문장 간 의미 유사도를 기반으로 유사한 문서를 검색한다. 질문과 문서 벡터 간 코사인 유사도를 계산한다.

4. 관련도 기반 랭킹 처리

• 검색된 문서들 중에서 가장 관련성이 높은 순서대로 정렬한다. 경우에 따라 2단계 방식을 사용하는데, 1차 검색에서는 빠른 검색을 적용하고 2차 정렬에서 의미 기반 정렬을 적용한다.

5. 최종 문서 선택해서 LLM에 전달

• 상위 N개의 문서를 선택하고 선택된 문서들을 질문과 함께 LLM의 입력에 포함한다.

코사인 유사도와 유클리드 거리

• 코사인 유사도 : 두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값으로 유사도를 측정한다. 방향이 얼마나 유사한지를 판단한다.

• 유클리드 거리 : 두 벡터 간의 직선 거리를 의미하는데, 위치가 얼마나 떨어져 있는지를 말한다.

GloVe에 대하여

• GloVe(Global Vectors for Word Representation) : 단어 같의 동시 등장 빈도 정보를 바탕으로 단어를 고차원 벡터로 표현하는 기법이다. 단어는 다른 단어와 함께 등장하는 맥락 속에서 의미가 드러난다는 것을 전제로 한다.

GloVe는 전체 말뭉치에서 단어 i와 단어 j가 몇 번 함께 등장했는지를 기록한 동시 등장 행렬(Co-occurrence Matrix)을 생성한다.

그런 다음, 이 행렬을 바탕으로 두 단어 벡터 간의 차이가 의미적 관계를 반영하도록 학습합니다.

Gram-Schmidt는 서로 직각도 아니고 길이도 제멋대로인 벡터들을 서로 직각인(= 직교) 기준 벡터들로 바꾸는 방법이다.

직교 벡터가 훨씬 계산이 쉽고, 정사영도 정확히 되고 수학적으로 안전한 방식이기 때문이다.

v1 방향으로 비쳐긴 그림자를 빼면 진짜 새로운 방향 v2만 남게 된다.

이걸 계속 반복하면 마지막엔 모든 벡터가 서로 수직인 기준 축이 되고 이것이 바로 직교 기저이다.

마지막에 모든 벡터의 길이도 1로 바꾸면 정규 직교 기저를 완성할 수 있다.

2. 행렬의 QR 분해

Gram-Schmidt 직교화의 결론을 행렬로 정리한 것이다. 복잡한 행렬 A를 Q(직각 축) x R(얼마나 섞였는지 비율표)로 쪼개는 방식이다.

우리는 Ax = b 문제를 해결하고 싶은데, 역행렬은 어렵고 수가 잘 못되면 구하기 어렵다는 문제가 있다. 그런데 QR 분해를 이용하면 간단하게 풀 수 있다.

3. 최소 제곱법

최소 제곱법(Least-squares Solution)은 선형 방정식 Ax = b가 해를 가지지 않는 불일치한 경우에 최적의 근사해 x를 구하는 방법이다.

역행렬이 존재하면 딱 하나의 정답이 존재하지만 역행렬이 존재하지 않으면 조건을 만족하는 여러가지 해의 모임이 된다. 즉, 자유 변수가 생긴다는 의미이다.

3-1. 최소 제곱 해의 조건

행렬식이 매우 크거나 매우 작으면 역행렬의 작은 오차가 최소 제곱 해에 큰 오차를 유발할 수 있기 때문에, 행렬 A의 열 벡터 집합이 선형 독립인 경우에 QR 분해를 이용하면 좀 더 신뢰성 있는 해를 구할 수 있다.

원래 공식은 역행렬을 계산하기 어렵기 때문에 QR을 이용하면 정규 직교, 상삼각형으로 인한 역 대입법을 이용해서 풀기가 더 쉬워진다.

정사영(Orthogonal Projection)은 벡터를 다른 벡터 방향으로 그림자처럼 내려보낸 것을 말한다. 예를 들어, 우리가 벡터 u와 v 두 개를 갖고 있다고 하자. 그런데 u를 v 방향으로 그림자처럼 내리고 싶다고 하면, 여기서 그 그림자 벡터가 바로 정사영 벡터이다.

정사영 결과는 항상 벡터이기 때문에 정사영과 벡터는 항상 같은 의미가 된다.

2. 직교 기저의 선형 결합

이 부분은 어떤 벡터를 서로 수직인 기준 벡터들을 이용해서 정확하게 표현하는 방법을 설명한다. 어떤 벡터가 주어졌을 때 그걸 직교 기저들을 이용해서 하나의 방법으로만 정확하게 쪼갤 수 있는 것을 보여준다.

3. 부분 공간 위로의 정사영

이번에는 벡터 y를 여러 개의 벡터가 만드는 공간(부분 공간 W) 위로 그림자처럼 내리는 것을 다룬다.

이 정사영은 최대한 가까운 위치로 내려주는 그림자를 말한다.

4. 직교 분해 정리

어떤 벡터 y는 부분 공간 W 위에 내려간 그림자 y 햇과 그 그림자에서부터 y까지 남은 수직 벡터 z이 합으로 나뉠 수 있다.

여기서 y 햇은 W 위에 가장 가까운 위치를 말하고, z는 W에 직각으로 서있는 벡터를 의미한다. 그래서 이걸 직교 분해라고 부른다. 서로 직각으로 나눴기 때문이다.

5. 정규 직교 기저의 정사영

서로 수직이고 길이도 1인 벡터들(= 정규 직교 기저)의 경우에 정사영 계산이 엄청 단순해진다.

그리고 n 차원에서 모든 영이 아닌 부분 공간은 직교 기저 또는 정규 직교 기저를 갖는다.

6. 일반 기저와 직교 기저에서의 벡터 x의 표현 방법

결론적으로 보면 정사영은 직각 방향일 때만 믿을 수가 있다. 일반 기저일 때는 정사영을 사용하면 벡터가 달라질 수 있기 때문이다.

내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지를 숫자로 말한 것이다. 우리는 내적을 공부할 때 서로 얼마나 같은 방향인지를 잘 살펴보고, 성분끼리 곱해서 더해야 한다.

내적(Inner Product)과 도트 곱(Dot Product) 그리고 스칼라 곱(Scalar Product)는 동일한 표현이다.

2. 직교

두 벡터의 내적이 0이면 두 벡터는 직교(= 서로 직각)한다고 말한다. 두 벡터 사이의 각도가 90도(직각)이라는 뜻이다.

참고로 영 벡터는 길이가 0이고 방향이 없다. 어떤 벡터랑 곱하든지 다 0이 되기 때문에 모든 벡터와 직교한다고 보는 것이다.

2-1. 직교 여공간

직교 여공간(Orthogonal Complements)은 어떤 공간 W가 있을 때 W에 있는 모든 벡터와 직각(직교)을 이루는 벡터들을 모아서 만든 공간을 의미한다.

2-2. 직교 집합

직교 집합(Orthogonal Set)은 벡터 집합 안에서 서로 다른 두 벡터끼리 내적이 0인 것을 말한다. 벡터들끼리 전부 직각(= 직교)이고, 하나 하나 서로 간섭하지 않고 완전히 다른 방향을 가리킨다.

2-3. 직교 기저

직교 집합이 선형 독립까지 만족하면 이 집합은 어떤 부분 공간의 기저가 될 수 있다. 이를 직교 기저(Orthogonal Basis)라고 말한다.

참고로 두 벡터의 직교는 두 벡터의 독립을 의미한다.

3. 정규 직교 집합과 정규 직교 기저

정규 직교는 서로 직각이면서 길이가 1인 벡터들을 말한다. 정규 직교 집합(Orthonormal Set)은 서로 직각이어야 하며, 각 벡터의 크기가 1인(단위벡터) 벡터들이 모인 집합을 의미한다.

만약 정규 직교 집합이 어떤 공간 전체를 만들어낼 수 있다면(= Span으로 기저가 된다면) 그것을 정규 직교 기저(Orthonormal Basis)라고 한다.

4. 열벡터가 정규 직교 집합인 행렬의 성질

5. 직교 행렬

직교 행렬(Orthogonal Matrix)은 열 벡터들이 정규 직교인 행렬이고, 전치 = 역행렬이 되는 아주 특별한 행렬을 말한다. 길이, 각도, 직각 관계를 그대로 유지하면서 벡터를 변환할 수 있다.

좀 쉽게 생각하면, 서로 직각이고 길이가 1이라면 정규 직교 집합을 이루게 되는데, 이런 벡터들로 만든 행렬이 직교 행렬인 것이다.

어떤 행렬 A가 있을 때 그것과 비슷한 모습이지만 더 단순한 대각 행렬 D로 바꿀 수 있다면, 우리는 A를 대각화할 수 있다고 말한다.

행렬 A가 어떤 복잡한 기계라고 가정하고, 이 기계는 어떤 숫자 혹은 벡터를 입력하면 복잡한 방식으로 바꾸는 역할을 수행한다. 근데 이 복잡한 기계를 더 단순한 형태로 바꿔서 더 쉽게 계산할 수 있도록 해주는 것이 대각화이다.

어떤 정방 행렬 A가 있을 때 그 행렬이 서로 다른 방향의 고유 벡터 n개를 가지고 있다고 하면 우리는 A를 대각화할 수 있다. 즉, 고유 벡터가 충분히 많고 서로 독립적이면 대각화가 가능하다.

1-1. 대각화의 충분 조건

n차 정방 행렬 A의 고유값이 모두 다르다면 각 고유값에 대응하는 고유 벡터의 집합은 선형 독립이다. 따라서 A는 대각화가 가능하다. 즉, n개의 서로 다른 실수를 고유값으로 갖는 n차 정밥 행렬은 대각화가 가능하다.

물론 고유값이 서로 다르지 않아도(= 중복된 고유값이 있어도) 고유 벡터들이 선형 독립이면 대각화가 가능하다.

2. 고유합

고유합 또는 대각합(Trace)은 어떤 행렬의 대각선 성분들만 더한 값을 말한다.

행렬을 더한 후 고유합을 구하는 것은 각각의 고유합을 구해서 더한 것과 동일하다. 또한, 두 행렬을 곱한 후 고유합을 구할 때 곱하는 순서를 바꿔도 고유합은 동일하다.

고유합과 곱의 관계는 다음과 같다.

3. 선형 변환의 고유값, 고유 벡터

벡터 공간을 자기 자신으로 바꾸는 변환이 있고 이 변환이 행렬 A로 표현된다면, 이때 행렬 A의 고유값은 선형 변환 T의 고유값이고, 행렬 A의 고유 벡터는 선형 변환 T의 고유벡터이다.

4. Cayley-Hamilton 정리

행렬 A에 대해서 만든 고유 방정식(특성 방정식)에 고유값 대신 그냥 행렬 A를 넣어도 등식이 성립하는 정리이다. 즉, 모든 정방 행렬은 자기 자신의 고유 방정식을 만족한다.

모든 정방 행렬의 역행렬은 행렬의 거듭 제곱의 합으로 나타낼 수 있게 된다.

5. 고유값과 고유 벡터의 관계

A가 n차 실수 정방 행렬일 때, 다음과 같은 관계를 가진다.

• 고유값은 실수일 수도 있고 복소수일 수도 있다. 실수 행렬이라도 고유값이 복소수로 나올 수 있기 때문이다.

• 고유값이 실수냐 복소수냐에 따라서 고유 벡터도 성질이 달라진다. 고유값이 실수면 고유 벡터도 실수 성분만 가질 수 있고, 고유값이 복소수이면고유 벡터도 복소수 벡터가 된다.

• 고유값이 서로 다르면 고유벡터도 독립적이다. 즉, 대각화가 가능하다.

• 고유값에 0이 있으면 역행렬이 없다.

결국 고유 벡터는 행렬을 어떻게 바꿔도 그대로이고, 고유 값만 역수, 빼기, 곱하기, 제곱 등으로 규칙적으로 바뀐다.

2. 대수적 중복도

고유값을 구했을 때 어떤 고유값이 한 번만 나올 수도 있고 여러 번 반복될 수도 있다. 여기서 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity)는 그 고유값이 몇 번 나왔는지를 말한다.

특성 방정식을 계산할 때 Sarrus 법칙이나 여인수 전개를 사용하는 것도 좋은 방법이지만, 기본행 연산을 사용하여 사다리꼴 행렬로 만들고 대각 원소의 곱으로 특성 방정식을 구하는 것도 유용하다.

3. 기하학적 중복도

n차 정방행렬 A의 각 고유값에 해당하는 고유벡터가 이루고 있는 고유공간의 차원을 그 고유값의 기하학적 중복도(Geometric Multiplicity)라고 한다. 다르게 말하면 그 고유값에 대해 나오는 서로 다른 방향의 고유벡터가 몇 개인지를 묻는 것과 동일하다.

여기서 기하학적 중복도는 대수적 중복도보다 작거나 같다. 즉, 고유값이 여러 번 나왔더라도 고유 벡터는 그 이하까지 나올 수 밖에 없다.

3-1. 기하학적 중복도 계산

어떤 고유값 𝜆의 기하학적 중복도는 고유값 λ에 해당하는 고유벡터가 몇 개나 독립적으로 존재하느냐와 같다. 이걸 계산하기 위해서 반드시 고유 공간의 기저를 구하는 것이 필수적인 것은 아니다. 아래의 성질을 이용할 수 있다.

이는 랭크 - 영차원 정리를 이용한 것이다.

4. 닮음

닮은 행렬은 같은 선형 변환을 서로 다른 기저에서 표현한 행렬들을 말한다. , 기저만 다를 뿐 하는 일은 똑같은 행렬을 의미한다.

두 행렬 A와 B가 어떤 행렬 P를 사이에 두고 서로 변신 가능한 관계라면 얘네는 같은 역할을 하는 친구들이라고 칭하면서 닮았다고 부를 수 있다. A를 위의 식처럼 바꾸는 과정을 닮은 변환(Similiarity Transformation)이라 부른다.

닮은 행렬은 고유값과 고유공간 차원은 같지만, 고유벡터는 기저에 따라 다를 수 있다.

1-1. 고유값과 고유벡터 정의

보통은 행렬 A가 벡터 x를 바꾸면, 벡터의 방향과 길이도 바뀐다. 그런데 특정한 벡터들은 방향이 안 바뀌고 길이만 λ배 바뀐다. 이렇게 방향이 안 바뀌는 벡터를 고유 벡터(Eigenvector)라고 하며, 이때 곱해진 숫자 λ를 고유값이라 한다.

고유값을 고유치라고도 하며, 고유벡터는 행렬의 곱에 의해 자기 자신의 상수배가 나오는 특별한 벡터이다. 고유값이 n개면 고유벡터도 무조건 n개가 나온다.

1-2. 고유값과 고유벡터 식 구하기

여기서 우리는 x = 0인 해에 관심이 없다. 모든 행렬에 대해 영 벡터를 넣으면 항상 성립하기 때문이다. 고유한 특징이 없기 때문에 우리는 x가 0이 아닌 해를 찾아 나선다.

자유 변수가 존재하면 해가 여러 개이고 무한히 많다는 뜻이기에, 0이 아닌 해도 존재한다는 것이다. 자유 변수가 있으려면 그 행렬은 역행렬이 없어야 하고, 역행렬이 없다는 것은 행렬식이 0이라는 뜻이 된다.

고유값이 여러 개 나오면 각각의 고유값을 다시 넣어서 풀면 그에 상응하는 고유벡터 x가 산출된다.

1-3. 고유공간

고유공간(Eigenspace)은 같은 고유값을 가지는 모든 고유벡터들의 모음 집합이다. 대신 0벡터는 제외한다.

1-4. 삼각행렬의 고유값

삼각행렬은 고유값을 쉽게 찾을 수 있는데, 바로 주대각선에 있는 숫자들이 고유값에 해당한다는 것이다. 그러므로 고유 방정식 없이도 고유값을 알 수 있게 된다.

1-5. 고유값이 0일 때

그리고 고유값이 0일 수도 있는데 고유값이 0이라는 것은 자유 변수가 존재한다는 뜻이며, 행렬 A가 역행렬을 갖지 않는다는 것을 의미한다.

행렬 A가 어떤 벡터 x를 완전히 짓눌러서 0으로 만든다. 이는 절대 뒤로 돌릴 수 없다는 뜻이기에 역행렬이 없다.

1-6. 고유벡터의 독립

서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 항상 선형독립이다. 고유값이 서로 다르다는 말은 그에 대응하는 고유벡터들도 완전히 다른 방향을 가진다는 이야기이다.

고유값이 다르면 고유벡터도 서로 영향을 주지 않는다는 이야기가 되며, 결국 고유벡터들로 기저를 만들거나 대각화를 할 수 있게 된다.

선형 방정식은 우리가 흔히 보는 식인 Ax = y이다. 여기서 A는 행렬, x는 입력 벡터, y는 출력 벡터이다. 이걸 함수로 보면 입력 x를 넣으면 결과 y가 나오는 것이라 볼 수 있다. 그래서 이걸 변환(Transformation) 또는 사상(Mapping)이라고 한다.

함수의 조건 중에 하나는 함수는 하나의 입력에 따른 하나의 출력이 있어야 한다고 정해져있다. 하지만 선형 변환에서는 한 입력이 여러 개의 출력으로 연결될 수 있기 때문에 변환이라고 말하는 것이다. (다차원 입력의 다차원 출력)

• 정의역(Domain) : 어떤 값을 넣을 수 있는 공간으로, 함수나 변환에 입력으로 들어갈 수 있는 모든 값들의 집합을 의미한다.

• 공변역(Codomain) : 함수나 변환을 거친 뒤 결과로 나올 수 있는 공간으로, 출력될 수 있는 값들의 집합을 의미한다.

1-2. 선형 변환

입력가 출력이 모두 벡터인 함수를 변환(Transformation)이라 한다. 그리고 n 차원에서 m 차원으로의 변환하는 것을 T: ℝⁿ → ℝᵐ 으로 표시하고, 각 벡터 x를 ℝᵐ의 하나의 벡터 T(x)에 할당한다.

선형 변환(Linear Transformation)은 벡터의 덧셈 연산과 스칼라 곱의 연산에 닫혀있는, 벡터의 형태와 방향을 보존한 채로 바꾸는 변환을 말한다.

벡터 두 개를 더한 뒤 변환해도 각각 변환해서 더한 것과 결과가 같으며, 벡터에 어떤 수 k를 곱한 후 변환해도 변환 후에 k를 곱한 것과 값이 같다.

• 상(Image) : 어떤 입력 벡터가 선형 변환을 거쳐서 나오는 결과 벡터를 말한다. 상의 Image를 구하라고 하면 "변환 결과가 무엇인지 계산해봐라"라는 의미이다.

1-3. 행렬 변환

선형 변환은 결국 행렬 곱하기와 동일하다. 예를 들어, 벡터를 90도 회전시키거나 크기를 두 배로 늘리거나 반사시키는 등의 선형적인 변화는 전부 하나의 행렬로 표현할 수 있다. 그리고 행렬의 곱은 항상 선형 변환의 조건을 만족하기 때문에 모든 행렬 변환은 선형 변환이다.

여기서 행렬 A를 선형 변환 T에 대한 표준 행렬(Standard Matrix)이라고 한다.

1-4. 선형 변환의 기하학적 의미

선형 변환은 기준 축을 움직이는 것이라 보면 된다. 원래의 X축과 Y축이 변환되어서 기울어진 축이 되는 것이다. 그래서 그 기준 축으로 다시 표현하면 새로운 위치로 밀려나듯이 바뀌게 된다.

우리가 평면에서 어떤 벡터를 𝜃만큼 회전하는 것도 선형 변환이 된다. 덧셈, 스칼라 곱을 보존하기 때문이다. 정의역의 각 벡터가 선형 변환 후에도 길이와 벡터 사이의 각이 보존되며 방향만 바뀐다.

1-5. 선형 변환과 행렬식

선형 변환 T는 행렬 A로 표현되는데, 이 때 어떤 도형 S가 변환되면 그 도형의 넓이 또는 부피가 det(A)의 절댓값 배로 바뀐다.

절댓값을 씌우는 이유는 넓이나 부피는 항상 양수이기 때문에, 부호를 빼고 크기만 계산하는 것이다. det(A)의 값이 0보다 작다면 방향이 뒤집혔다는 의미가 된다.

2. 전사 및 일대일 변환

2-1. 전사 변환

전사 변환(Onto Mapping)은 출력 공간의 모든 벡터가 선형 변환으로 만들어질 수 있는지를 보는 것이다. T(x) = b의 해가 언제나 존재하면 전사라고 할 수 있다. 즉, 아무 벡터 b를 찍어도 그걸 만들어내는 x가 최소 하나는 항상 존재한다는 뜻이다.

전사 변환에서는 Ax = y일 때 y를 이용해서 x를 구할 수 있게 된다. 정의 구역의 모든 데이터가 치역이 된다고 생각하면 편하다.

2-2. 일대일 변환

어떤 출력값 b에 대해 단 하나의 입력값 x만 존재하는 것을 일대일 변환(One-to-one Mapping)이라고 한다. 일대일 변환은 단사 변환이라고도 말하는데, 쉽게 말하면 결과가 같으면 원인도 같아야 한다는 것이다.

M 차원의 각 b에 대해 T(x) = b의 해는 유일하거나 없다. (= 해가 많아야 1개이다.) 선형 변환 T가 일대일 변환한다는것은 선형 방정식의 해가 유일하다는 것을 의미한다.

일대일 변환의 필요 충분 조건은 동차 선형 방정식 T(x) = 0이 자명한 해(x = 0)만 가져야 한다는 것이다.

전사 변환은 열 벡터들을 조합해서 m 차원의 어떤 벡터든 만들 수 있어야 하고, 일대일 변환은 행렬 A의 열 벡터들이 일차 독립이어야 한다.

전사는 열 벡터들이 넓게 퍼져서 전체 공간을 채우는 것이고, 일대일 변환은 열벡터들이 겹치지 않게 독립적으로 있는 것이다.

3. 선형 변환(사상)의 핵과 치역(상)

• 핵(Kernel), 영공간(Null space) : 결과가 0이 되는 입력들만 모아둔 공간이다. 변환했더니 0이 되어버리는 벡터들만 모아놓은 곳이라 보면 된다.

• 치역(Image), 상공간(Range space) : 변환을 거쳐 실제로 나오는 결과들만 모은 공간이다. 변환을 했더니 실제로 만들어진 결과 벡터들만 모은 곳이라 보면 된다.

일대일 여부를 살펴 볼 때는 Kernel에 아무 것도 없어야 하며, 전사 여부를 살펴 볼 때는 Image가 전체 공간을 덮어야 한다.

A가 가역 행렬이라는 것은 역행렬이 존재한다는 것이고, 어떤 결과 Ax = b에 대해 항상 유일한 해 x를 구할 수 있다는 것이다. T가 전사 변환이라는 것은 n차원의 모든 벡터가 변환 결과로 나올 수 있다는 것이다. T가 일대일 변환이라는 것은 결과가 같으면 입력도 같아야 한다는 것이다.

우리는 평면에서 (3, 2)을 보통 x축 1칸, y축 1칸 기준으로 본다. 나만의 새로운 축을 만들어서 그 축을 기준으로 벡터를 표현하면 좌표가 달라지는 것은 당연하다. 여기서 그 기준이 되는 축이 바로 기저(Basis)이다.

기저 B가 표준 기저(가장 기본적으로 사용하는 기저)일 경우, 기저 B를 생략할 수 있다. [X] = X가 된다. 또한, 동일한 벡터일지라도 기저가 다름에 따라 좌표가 달라진다.

1-1. 좌표 변환

• x : 원래 벡터 (예 : (3, 2) 같은 거)

• [𝑥]𝐵 : 기저 B 기준 좌표 (벡터가 기저 B를 기준으로 얼마나 조합됐는지를 숫자로 표시)

• PB : 기저 B의 벡터들을 열벡터로 놓은 행렬(예 : 기저 B = {𝑏1, 𝑏2}라면 𝑃𝐵=[𝑏1 𝑏2])

[기저 B 기준 → 표준 기저 기준]

[표준 기저 기준 → 기저 B 기준]

PB는 기저 B에서 표준기저로 좌표를 바꿔주는 좌표 변환 행렬이다. 기저 벡터들을 열 벡터로 가지며, 가역 행렬이다. 기저는 선형 독립이라 열 벡터들이 선형 독립이고, 그 기저 벡터들로 공간 전체를 표현할 수 있어 항상 역행렬이 존재한다.

P B−1은 표준 기저에서 기저 B로의 좌표 변환 행렬이며, 좌표 사상(Coordinate mapping)이라고도 한다.

1-2. 좌표 변환 행렬

변환 행렬은 같은 벡터라도 기저마다 좌표를 나타내는 것이 다르기 때문에, 어떤 기준의 좌표를 어떤 기준의 좌표로 바꾸기 위해 알려주는 역할을 수행한다. [x]C = P C←B [x] B는 벡터 X의 기저 B 기준 좌표를 알고 있다면, 그것을 기저 C 기준으로 바꾸고 싶을 때 이 변환 행렬을 이용하면 된다는 이야기이다.

변환 행렬은 B의 기저 벡터들을 C 기저 기준 좌표로 나타내고 열 벡터로 붙여서 만든 행렬이다. 변환 행렬은 일차 독립(겹치지 않고 서로 독립적)이므로 역행렬이 항상 존재한다.

가우스 소거법을 활용한 좌표 변환 행렬 구하기

여기서 왼쪽에는 C의 기저 벡터, 오른쪽에는 B의 기저 벡터를 두고 왼쪽 행렬을 단위 행렬로 만들면 오른쪽이 기저 B를 기저 C로 만드는 변환 행렬이 된다.

표준 좌표로 변환시킨 후 좌표 변환 행렬 이용하기

예를 들어, B 기저 좌표에서 C 기저 좌표로 바꾸고 싶을 때 굳이 직접 변환하지 않아도 표준 기저(기본 좌표계)를 중간에 거치면 더 쉽게 구할 수 있다.

CSS는 Cascading Style Sheets로, HTML로 만든 웹 페이지에 디자인(스타일)을 입히는 것이다. HTML로 뼈대를 만든다면, CSS는 그 위에 옷을 입히는 것이다.

Cascade는 '폭포처럼 쏟아지는 물'이라는 의미가 있다. 결국 계속 이어진 두 가지 이상의 스타일이 있을 때, 어떤 우선 순위에 따라 CSS가 어떻게 적용될지 알고 있는 것이 중요하다.

1-1. 선택자 활용 스타일링

선택자에는 태그, 클래스, #아이디 등이 있다.

선택자 {
    속성1: "속성값1";
    속성2: "속성값2";
}

  <style>
    /** 1. 태그 선택자 */
    p {
      color: red;
    }

    /** 2. ID 선택자 */
    #matthew {
      color: red;
    }

    /** 3. class 선택자 */
    .yongmin {
      color: red;
    }
  </style>

1-2. 인라인 스타일링

인라인 스타일링은 태그 안에 바로 적용하는 방식이다.

<태그 style="값: 속성'">컨텐츠 내용</태그>

1-3. CSS-Origin 우선 순위

사용자 Style

• 사용자 에이전트나 브라우저에 기본적으로 내장된 스타일 시트를 말한다.

• 브라우저마다 기본 스타일이 조금씩 다르기 때문에, 퍼블리싱할 때 공통 속성을 재정의하는 CSS를 작성하기도 한다.

• <h1> 태그가 기본적으로 폰트가 커지고 진하게 표시되는 이유이다.

코드 Style

• 가장 일반적인 CSS이다.

• 프론트엔드 개발자가 화면을 꾸미기 위해 작성한 스타일 시트 코드를 말한다.

User Style

• 개발자가 아닌 웹 사이트의 사용자가 설정하는 스타일 시트를 의미한다.

• 일부 사용자는 시각적 불편을 줄이기 위해 자신만의 스타일 시트를 적용하기도 한다.

태그에 대해 구체적으로 설명할 경우 우선 순위가 높다는 것이다. 동일한 레벨에서는 나중에 작성한 스타일이 우선 순위가 높다.

태그 < .클래스 < #아이디 < 인라인 스타일링 < !important

• 태그 : 그냥 태그 이름으로 스타일을 적용한다.

• 클래스 : 특정 그룹(Class)을 지정해서 스타일을 적용한다.

• 아이디 선택자 : 특정 하나(ID)에만 적용한다.

• 인라인 스타일 : HTML 태그 안에 직접 스타일을 작성한다.

• !important : 우선 순위를 무시하고 무조건 적용한다.

2. Border VS Outline

Border는 박스 내부에 포함되어 있고, 요소 크기에 영향이 있다. 모서리 조정(Border-Radius)가 가능하며, 레이아웃의 영향 또한 있다. 레이아웃과 디자인 요소적인 측면이 강하다. 개별 방향(Top, Bottom, Right, Left) 역시 설정 가능하다.

+---------------------------+   ← border (테두리)
|        콘텐츠 내용         |   ← padding (내부 여백)
+---------------------------+

Outline은 요소 경계 외부에 있으며, 요소 크기와 완련이 없다. 모서리 조정이 불가능하며, 레이아웃의 영향이 없다. 포커스 강조 및 접근성 요소적인 측면이 강하다. 개별 방향 설정이 불가능하다.

   (outline) --------------  
+---------------------------+  ← border나 실제 박스
|        콘텐츠 내용         |
+---------------------------+
   (outline) -------------- 

3. Relative VS Absolute

Relative는 문서 흐름에 따라 원래 본인이 있어야 할 곳을 기준으로, 좌표 프로퍼티(Top, Bottom, Right, Left) CSS Style을 통해 위치를 이동시키는 속성이다.

Absolute는 문서 흐름에서 제외되며, 위치가 Relative, Absolute, Fixed인 부모 요소 중에서 선택해서 해당 요소를 기준으로 좌표 프로퍼티를 사용해 위치를 이동한다.

4. Fixed VS Sticky

Fixed는 부모 요소와 관계 없이 Viewport를 기준으로, 화면상의 특정한 위치에 고정되는 것이다.

Sticky는 Relative와 Fixed의 속성이 혼합된 것이라 생각하면 된다. 일반적으로는 Relative처럼 동작하지만, 특정 스크롤 위치에 도달하면 Fixed처럼 화면에 고정되어 움직이지 않는다.

5. 다양한 정렬 방법

• Text-Align : 인라인 요소나 텍스트를 수평 가운데 정렬할 때 사용한다. Block 요소 자체를 정렬하는 것이 아닌, 안쪽 텍스트나 인라인 요소에 적용한다.

<div style="text-align: center;">
    <span>텍스트 가운데 정렬!</span>
    <img src="image.jpg" alt="img">
  </div> 

• Margin : 요소 바깥 여백을 의미한다. 요소와 요소 사이의 간격을 띄우는 역할을 하며, 박스 바깥 공간이기 때문에 레이아웃에 큰 영향을 준다. Top, Right, Bottom, Left 총 네 방향으로 각각 설정할 수 있다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Margin 실습</title>
  <style>
    .box {
      width: 200px;
      height: 100px;
      background-color: lightblue;
      margin: 20px; /* 모든 방향에 20px */
    }

    .center-box {
      width: 300px;
      background-color: lightcoral;
      margin: 0 auto; /* 수평 가운데 정렬 */
      padding: 20px;
    }

    .collapse-box {
      margin-bottom: 40px;
      margin-top: 20px;
      background-color: lightgreen;
    }

    .collapse-box2 {
      margin-top: 30px;
      background-color: lightyellow;
    }
  </style>
</head>
<body>

  <div class="box">기본 margin</div>

  <div class="center-box">가운데 정렬 (margin: auto)</div>

  <div class="collapse-box">첫 박스 (margin-top: 20px, margin-bottom: 40px)</div>
  <div class="collapse-box2">두 번째 박스 (margin-top: 30px)</div>

</body>
</html>

• Flex : 부모 요소에 적용해서 자식 요소를 유연하게 배치하고 정렬할 수 있는 역할을 수행한다. Justify-Content는 가로축 정렬을, Align-Items는 세로축 정렬을 수행한다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Flex 가운데 정렬</title>
  <style>
    .flex-container {
      display: flex;
      justify-content: center; /* 가로축 가운데 정렬 */
      align-items: center;      /* 세로축 가운데 정렬 */
      height: 300px;
      background-color: #f0f0f0;
    }

    .box {
      width: 100px;
      height: 100px;
      background-color: skyblue;
      text-align: center;
      line-height: 100px;
    }
  </style>
</head>
<body>
  <div class="flex-container">
    <div class="box">Flex</div>
  </div>
</body>
</html>

• Translate : 요소를 이동시키는 Transform 함수이다. 요소의 원래 위치를 기준으로 X축이나 Y축으로 이동할 수 있다. Relative나 Absolute처럼 레이아웃을 깨지 않고 이동할 수도 있다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Translate 가운데 정렬</title>
  <style>
    .translate-container {
      position: relative;
      height: 300px;
      background-color: #f0f0f0;
    }

    .box {
      width: 100px;
      height: 100px;
      background-color: lightcoral;
      color: white;
      text-align: center;
      line-height: 100px;

      position: absolute;
      top: 50%;
      left: 50%;
      transform: translate(-50%, -50%);
    }
  </style>
</head>
<body>
  <div class="translate-container">
    <div class="box">Translate</div>
  </div>
</body>
</html>

• Grid : HTML 요소를 표처럼 행과 열에 배치할 수 있다. Grid-Template-Columns를 통해 열 개수 및 너비를 정의할 수 있고, Grid-Template-Rows를 통해 행 개수 및 높이를 정의할 수 있다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Grid 가운데 정렬</title>
  <style>
    .grid-container {
      display: grid;
      place-items: center; /* 가로/세로 가운데 정렬 */
      height: 300px;
      background-color: #f0f0f0;
    }

    .box {
      width: 100px;
      height: 100px;
      background-color: mediumseagreen;
      color: white;
      text-align: center;
      line-height: 100px;
    }
  </style>
</head>
<body>
  <div class="grid-container">
    <div class="box">Grid</div>
  </div>
</body>
</html>

6. 반응형 Background

6-1. Background-Image

Background-Image를 사용해서 HTML 요소의 배경에 이미지를 삽입할 수 있다. 기본적으로 요소의 배경에 이미지를 넣고 다른 속성과 함께 사용해서 크기나 위치 등을 조정할 수 있다.

selector {
  background-image: url('이미지 경로');
}

6-2. Background-Repeat

Background-Repeat은 Background-Image로 설정한 배경을 어떻게 반복할 것인지를 결정하는 속성이다. 기본 값이 Repeat이라 따로 설정하지 않으면 배경 이미지가 요소의 가로 및 세로 방향으로 계속 반복된다.

selector {
  background-repeat: 값;
}

6-3. Background-Position

Background-Position은 배경 이미지가 요소 안에서 어디에 위치할 것인지를 정하는 속성이다. 배경 이미지를 좌우로, 위아래로 얼만큼 이동시킬 것인지를 정한다.

selector {
  background-position: x축위치 y축위치;
}

6-4. Background-Size

Background-Size는 배경 이미지의 크기를 조절하는 역할을 한다. 둘 중 값 하나만 작성하면, 나머지 하나는 기본 값 center로 동작한다.

selector {
  background-size: 값;
}

• left : 왼쪽 정렬
• center : 가운데 정렬
• right : 오른쪽 정렬
• top : 위쪽 정렬
• bottom : 아래쪽 정렬

background-position: 50% 50%;처럼 픽셀이나 퍼센트를 사용해서 세밀하게 위치를 지정할 수도 있다. 퍼센트의 경우, 화면 크기가 달라져도 상대적 위치이기 때문에 반응형 디자인에 유용하다.

6-5. 축약형

CSS에서 반응형 Background를 다룰 때 Background 축약형을 자주 사용한다. 개별 속성들을 한 줄에 다 합쳐서 쓸 수 있는 것이 축약형이다.

background-color: #fff;
background-image: url('bg.jpg');
background-repeat: no-repeat;
background-position: center center;
background-size: cover;
background-attachment: fixed;

위의 코드를 아래와 같이 한 줄로 줄일 수 있다.

background: #fff url('bg.jpg') no-repeat center center / cover fixed;

축약형은 다음과 같은 구성 순서를 따른다.

background: [배경색] [배경 이미지] [반복] [위치] / [크기] [스크롤 방식];

7. Transform

Transform을 통해 요소에 회전 크기 조절, 기울이기, 이동 효과를 부여할 수 있다.

7-1. Translate

translate를 통해 요소를 이동 시킬 수 있다. 요소의 기존 위치를 기준으로 X축과 Y축 방향으로 이동한다.

• translateX(거리) : X축으로 이동

• translateY(거리) : Y축으로 이동

• translate(X, Y) : X축과 Y축을 동시에 이동

translate는 기존 위치에서 이동하는 것 뿐이고, 다른 요소에 영향을 안 준다. 레이아웃을 바꾸지 않고 이동하기 때문에 애니메이션이나 동적 효과에 많이 사용된다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>translate 실습</title>
  <style>
    .box {
      width: 100px;
      height: 100px;
      background-color: steelblue;
      color: white;
      display: flex;
      justify-content: center;
      align-items: center;
      transition: transform 0.3s ease; /* 애니메이션 효과 */
    }

    .box:hover {
      transform: translate(50px, 50px);
    }
  </style>
</head>
<body>

  <h2>마우스를 박스에 올려보세요!</h2>
  <div class="box">Box</div>

</body>
</html>

위의 코드를 입력하고 마우스를 박스에 올리면 박스가 움직인다.

7-2. Scale

scale은 요소의 크기를 확대하거나 축소할 때 사용한다. 원래 공간을 기준으로 크기를 바꾸기 때문에, 레이아웃에 영향을 주지 않고 다른 요소는 그대로 유지된다.

• scale(1) : 원래 크기

• scale(2) : 2배 확대

• scale(0.5) : 절반 크기로 축소

• scale(값) : X축과 Y축 동시에 확대/축소

• scale(X, Y) : X축은 x 비율, Y축은 y 비율로 각각 조정

• scaleX(값) : X축만 확대/축소

• scaleY(값) : Y축만 확대/축소

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>CSS transform scale 예제</title>
  <style>
    .box {
      width: 100px;
      height: 100px;
      background-color: mediumseagreen;
      color: white;
      display: flex;
      justify-content: center;
      align-items: center;
      margin: 50px;
      transition: transform 0.3s ease;
    }

    .box:hover {
      transform: scale(1.5);
    }
  </style>
</head>
<body>

  <h2>마우스를 박스 위에 올려보세요!</h2>
  <div class="box">Box</div>

</body>
</html>

7-3. Rotate

rotate는 요소를 중심으로 회전시키는 기능이다. 2D 평면에서 시계 방향 또는 반시계 방향으로 돌릴 수 있다.

transform: rotate(각도);

각도의 단위는 Degree이며, 양수 값을 입력하면 시계 방향으로 회전하고, 음수 값을 입력하면 반시계 방향으로 회전한다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Rotate 실습</title>
  <style>
    .box {
      width: 150px;
      height: 150px;
      background-color: skyblue;
      margin: 50px;
      transition: transform 0.5s; /* 부드럽게 회전 */
    }

    /* 마우스를 올리면 회전 */
    .box:hover {
      transform: rotate(45deg);
    }
  </style>
</head>
<body>

<div class="box"></div>

</body>
</html>

마우스를 박스 위에 올리면 상자가 시계 방향으로 45도 회전한다.

7-4. Skew

Skew는 요소를 비스듬하게 기울이는 효과를 준다. Rotate는 회전하는 것이었지만 Skew는 삐딱하게 만드는 것이라 생각하면 된다.

css
transform: skew(x각도, y각도);

X축과 Y축 방향으로 몇 도 기울일 것인지 결정하면 된다. 단위는 역시 Degree이다. 한쪽 방향만 설정하거나 양쪽 방향 모두 설정 가능하다.

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Skew 실습</title>
  <style>
    .box {
      width: 150px;
      height: 150px;
      background-color: lightcoral;
      margin: 50px;
      transition: transform 0.5s;
    }

    .box:hover {
      transform: skew(20deg, 10deg);
    }
  </style>
</head>
<body>

<div class="box"></div>

</body>
</html>

상자에 마우스가 닿으면 아래 사진처럼 상자가 삐딱하게 변한다.

7-5. Matrix

Matrix는 여러가지 변형(이동, 회전, 확대, 축소, 기울이기)를 한 번에 수학적 방식으로 지정하는 방식이다.

위에서 배웠던 translate, scale, rotate, skew와 같은 효과를 하나로 묶어서 설정할 수 있다.

transform: matrix(X 축 확대 및 축소, Y축으로 기울이기, X축으로 기울이기, Y축 확대 및 축소, X축 이동, Y축 이동);

<!DOCTYPE html>
<html lang="ko">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <title>Matrix Transform 실습</title>
  <style>
    .box {
      width: 100px;
      height: 100px;
      background-color: lightseagreen;
      margin: 50px;
      transition: transform 0.5s;
    }

    .box:hover {
      /* x축 1배, y축 0.5 기울기 / x축 0.5 기울기, y축 1배 / 이동 없음 */
      transform: matrix(1, 0.5, 0.5, 1, 0, 0);
    }
  </style>
</head>
<body>

<div class="box"></div>

</body>
</html>

HTML은 (Hyper Text Markup Language로, 웬사이트 표시를 위해 개발된 마크업 언어이다. 문서의 내용을 태그로 사용하여 구성한다. Hyper Text는 하이퍼링크를 통해 한 문서에서 다른 문서로 즉시 접근할 수 있도록 하는 것이다.

2. Semantic Tag

Semantic Tag는 포함된 콘텐츠의 특정 의미를 정의하고 목적을 갖는 태그이다. 시맨틱 태그를 사용하면 접근성 및 가독성 측면에서 다양한 이점을 얻을 수 있다고 한다. 시맨틱 태그는 웹 페이지에 보이는 것 그 이상의 정보를 제공하며, 시맨틱 태그 요소로는 <header>, <nav>, <article>, <setcion> 등이 있다.

결론적으로 보면 시맨틱 태그는 HTML의 구조를 설계할 때 태그에 의미를 부여함으로써 웹사이트의 구조를 팡가하기 쉽도록 도와주는 역할을 수행한다.

2-1. div 태그로만 페이지를 구조화하는 것이 좋을까?

• div : 구역을 나누는 상자로, 웹 페이지를 구역이나 섹션으로 나누고 싶을 때 사용하는 태그이다.

div만 사용해서 구조화를 할 수 있지만, div는 아무 의미가 없는 박스이기 때문에 검색 엔진이나 화면을 읽는 프로그램이 볼 때, 이게 메뉴인지 본문인지 알 기 어렵다.

결국, div만 사용하는 것보다 HTML이 제공하는 누가 봐도 알 수 있는 태그들을 사용하는 것이 더 좋다. <header>, <nav>, <article>, <section>, <aside>, <footer> 등이 이에 해당한다.

<div>
  <div>메뉴</div>
  <div>본문 내용</div>
  <div>꼬리말</div>
</div>

<header>메뉴</header>
<main>본문 내용</main>
<footer>꼬리말</footer>

위의 두 코드를 비교했을 때, 첫 번째 코드는 모두 <div>로 되어있어 어떤 것이 어떤 역할을 수행하는지 알기 어렵다. 반면 두 번째 코드의 경우 다양한 태그로 구성되어 있어 한 눈에 알아볼 수 있다.

2-2. 여러가지 태그들

• <h1> ~ <h6> : 제목 글자

<h1>가장 큰 제목</h1>

• <p> : 문단

<p>여기에 본문을 써요.</p>

• <strong> : 진하게 강조

<strong> 중요한 단어는 강조! </strong>

• <em> : 기울기 강조

<em> 기울여서 강조! </em>

• <br> : 줄바꿈

한 줄<br>두 줄

• <hr> : 가로선 (구분선)

<hr> 을 작성하면 구분이 생김!

• <form> : 입력 폼 전체 감싸기

<form action="/submit" method="post">
  <input type="text" name="이름">
  <button type="submit">보내기</button>
</form>

• <button> : 버튼 만들기

<button type="submit">전송</button>

• <label> : 입력칸 설명

<label for="id">아이디</label>
<input type="text" id="id">

3. HTML 구성 요소

HTML 문서는 HTML 요소들로 구성되어 있다.

1. html 요소는 태그 한 쌍으로 이뤄진다.

<p> 안녕하세요! </p>

위와 같이 시작과 종료 태그를 꼭 입력해줘야 한다.

2. 속성이 들어갈 수 있다.

<태그 속성1='값 1'>컨텐츠 내용</태그>

위와 같이 시작 태그 안에 명시를 해주면 된다.

3. 태그 안에 태그를 넣을 수도 있다.

<p>Hello <strong>World!</strong></p>

위와 같이 중첩해서 요소를 사용할 수 있다.

4. 컨텐츠가 없는 태그도 사용할 수 있다.

<img src="image.png" alt="profile" />

태그 안에 텍스트나 다른 요소가 없어도 그 자체로 의미 있는 태그가 될 수 있다는 뜻이다.

4. <head>에 대해 알아보자

<head>는 웹 페이지에서 눈에 보이지 않는 정보를 담는 곳이다. 브라우저나 검색엔진이 이해할 수 있도록 웹 페이지의 설정, 정보, 연결을 넣는 부분이라 생각하면 된다.

<head>
  <meta charset="UTF-8">  <!-- 문자 인코딩 (글자가 깨지지 않게 설정) -->
  <meta name="description" content="맛있는 레시피를 소개하는 사이트입니다."> <!-- 설명 -->
  <meta name="keywords" content="요리, 레시피, 음식"> <!-- 키워드 -->
  <meta name="author" content="홍길동"> <!-- 작성자 -->
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <!-- 반응형 웹 설정 -->
</head>

4-1. <head>에서 주로 사용하는 태그들

• <!DOCTYPE html> : 이 문서는 HTML 파일이라는 뜻이다.

• <html lang='ko'> : 주로 사용하는 언어를 정의한 것이다.

• <body> 문서의 구성 요소들 </body> : 화면에 보여질 내용들을 태그 내부에 작성하면 된다.

5. <body>에 대해 알아보자

body 태그에는 웹 사이트의 내용이 들어가 있다. 어떻게 웹 사이트를 구조화할 것인지에 따라서 다르게 나타낼 수 있다.

5-1. Element Level

Element Level은 각각의 요소(태그)를 말한다.

• 하나의 태그나 요소가 어떻게 동작하는지에 초점을 둔다.

• CSS에서는 텍스트 크기, 색상, 여백과 같은 요소 자체의 속성이라 볼 수 있다.

• <h1>, <p>, <div> 등이 이에 해당한다.

5-2. Container Level

Container Level은 요소들을 담는 박스와 같은 역할을 한다.

• 여러 요소를 묶어서 어떻게 배치하고 관리하는지에 초점을 둔다.

• CSS에서는 레이아웃, 정렬, 간격 배분을 결정하는 것이라 볼 수 있다.

• <div>, <section>, <main> 등이 이에 해당한다.

집 안의 가구가 Element Level에 해당하고, 방 안에 가구를 배치하는 것이 Container Level이라고 생각하면 쉽다.

5-3. Block VS Inline

Block 요소는 요소가 한 줄을 꽉 차지한다. 이와 다르게 Inline 요소는 본인의 크기만큼 딱 차지한다. 본인의 크기만큼 남는 공간이 없을 경우에는 다음 줄로 넘어간다.

5-4. Inline-Block

Inline-Block은 줄에 맞춰 나란히 배치되면서, 박스처럼 크기 조절도 가능하다. 글자처럼 붙지만 가로 및 세로 크기 조절이 가능하다는 점에서 Block과 Inline의 장점만 합친 것이라 볼 수 있다.

• Block은 박스가 세로로 나란히 있고, 너비와 높이 조절이 가능하다.

• Inline은 글자처럼 한 줄에 붙어 있으나, 크기 조절이 불가능하다.

• Inline-Block은 옆으로 나란히 붙어 있을 수 있고, 크기 조절도 가능하다.

참고 자료 https://seo.tbwakorea.com/blog/what-is-semantic-tag/

• 기저(Basis) : 해당 공간의 기준점이 되는 부분이다.

하나의 벡터공간에 기저가 될 수 있는 집합은 여러 개가 있을 수 있다. 그러나 그 벡터공간의 기저를 이루는 집합들의 각 원소의 개수는 모두 같다.

차원은 기저의 개수와 동일하다.

• 표준 기저(Standard Basis) : 각 좌표축을 따라 하나만 1이고 나머지는 전부 0인 기본적인 기저를 말한다.

1-1. 기저의 생성

1-2. 널공간의 기저

해를 매개 벡터 형식으로 표현하는 것이 중요하다. 자유변수 자체는 벡터가 아니지만, 각 자유변수를 1로 두고 만든 해 벡터들이 널 공간의 기저를 이루는 선형독립한 벡터가 되기 때문이다.

1-3. 열공간의 기저

사다리꼴로 변형했을 때 오리지널 컬럼이 기저를 이룬다는 것을 잊지 말아야 한다.

1-4. 행공간의 기저

여기서 약간 혼동이 올 수 있는데, 열공간의 기저는 원래 행렬 A의 피봇 열들을 그대로 가져오면 된다. 하지만 행공간의 기저는 기약 사다리꼴에서 0이 아닌 행들을 가져오면 된다.

2. 차원

2-1. 널공간과 열공간의 차원

3. 계수

계수(Rank)는 그 행렬이 표현할 수 있는 선형적으로 독립한 방향(벡터)의 수이다. 선형독립한 행 또는 열의 수이자, 축약 사다리꼴에서 pivot의 개수와 동일하다.

3-1. 계수의 성질

3-2. 정칙행렬의 기저와 계수

3-3. 계수와 해의 존재

rank에 따라서 해가 존재하는지를 살펴본 것이다.

4. 행렬의 차원 정리

여기서 rank(A)는 기본변수의 개수, dim(Nul(A))는 자유변수의 개수라고 생각하면 쉽다.

벡터공간은(Vector Space)은 영벡터를 포함해야 하며, 덧셈과 스칼라 곱을 자유롭게 할 수 있어야 한다.

2. 부분공간

벡터공간 V에서 V 자신과 {0}은 V의 부분공간들 중 하나이다. 이러한 부분공간을 V의 자명한 부분공간(Trivial Subspace)라고 하며, 특히 {0}을 영공간(Zero Space)라고 한다.

부분공간이 되기위해서는 영벡터를 포함해야 한다. 그리고 "~에 닫혀있다"는 말은 어떤 집합 내에 존재한다는 것을 의미한다.

3. 선형결합과 부분공간

부분 공간인지 아닌지 확인하고자 한다면 다음 조건을 만족해야 한다.

• 영벡터를 포함하고 있어야 한다.

• 벡터 덧셈에 닫혀 있어야 한다.

• 스칼라 곱에 닫혀 있어야 한다.

4. 널공간

m × n 행렬 A의 널공간(Null Space)은 동차선형방정식의 해 합이며, Nul(A)로 나타낸다. Nul(A)는 n차원의 벡터 공간의 부분공간이다.

영공간이라 부르기도 하는데, 영벡터만으로 이루어진 벡터공간 {0}과 혼동할 수 있어 영화공간이라고도 한다.

널공간은 벡터공간을 이룬다. 참고로 비동차선형방정식의 해 집합은 벡터공간을 이루지 못한다.

4-1. 널공간의 성질

5. 열공간

m × n 행렬 A의 열공간(Column Space)은 A의 열벡터들의 모든 선형결합의 집합이며, Col(A)로 나타낸다. 열벡터로 만들 수 있는 모든 선형결합이 열공간이다.

5-1. 열공간의 성질

자유변수가 없는 열 즉, 피봇열에 해당하는 열벡터만 뽑아서 열공간의 기저로 나타낼 수 있다.

5-2. 널공간과 열공간의 비교

널공간은 행렬 A에 어떤 벡터를 곱하니 결과가 0이 되는 경우를 모은다.

6. 행공간

m × n 행렬 A의 행공간(Row Space)은 A의 행벡터들의 모든 선형결합의 집합이며 Row(A)로 나타낸다.

6-1. 행공간의 성질

가우스 소거로 피봇이 있는 행의 행 번호를 먼저 찾는다. 그리고 원래 행렬로 돌아와 그 행 벡터만 뽑아서 사용하면 행공간을 Span으로 나타낼 수 있다.

6-2. 행공간과 널공간의 관계

벡터의 내적은 스칼라 값 1개가 나오지만, 벡터의 외적은 방향과 크기를 가진 또 다른 새로운 벡터를 만들어 낸다.

1-1. 외적의 성질

외적은 교환 법칙이 성립하지 않는다. u × v가 0이라면 u, v가 같은 방향이거나 평행한 경우이다. 외적 벡터가 존재하지 않는다.

외적과 내적에 대해서 다음과 같은 내용이 성립된다.

1-2. 오른나사 법칙

두 벡터의 외적은 두 벡터와 동시에 수직인 벡터이고, 그 방향은 오른손을 감아 쥐었을 때, 펼친 엄지 손가락 방향과 동일하다.

1-3. 외적의 크기

1-4. 스칼라 3중적

u, v, w를 3차원 공간 상의 세 벡터라고 할 때, 세 벡터 u, v, w의 스칼라 3중적은 u (v × w)으로 정의한다.

순서를 바꿔도 성립된다는 것을 잊지 말자.

1-5. 사면체의 부피

1-6. 동일한 평면 위

세 벡터가 같은 시점을 갖고, 동일한 평면에 있기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같다.

1. 여인수 행렬과 수반행렬

여인수들로 구성된 행렬을 여인수 행렬(Cofactor Matrix)라고 하며, 이 여인수 행렬의 전치행렬을 수반행렬(Adjoint Matrix of A)라고 한다. 기호로는 adj(A)로 나타낸다.

수반행렬은 꼭 여인수 행렬을 Transpose 해줘야 한다.

참고로 역행렬은 Det(A)가 절대 0이 될 수 없다. $A^{-1}$ = $1/Det(A)$ · $adj(A)$이기 때문이다.

기본행렬(가우스 소거법)을 이용하여 역행렬을 구하는 것은 역행렬 값만 구할 때 사용한다. 하지만 여인수 전개를 사용하여 역행렬을 구하는 것은 역행렬의 성질을 분석할 때 사용한다.

2. 수반행렬의 성질

수반행렬의 행렬식은 원래 주어진 행렬의 행렬식을 이용하여 구할 수 있다.

3. 행렬식의 응용

행렬식을 이용하면 넓이나 부피, 직선의 방정식, 타원의 방정식, 평면의 방정식을 쉽게 구할 수 있다.

각 행에서 원소를 하나씩 고르되, 열이 서로 겹치지 않게 고른다.

기본 곱에 부호를 붙이면 행렬식(Determinent)가 된다.

1-1. 전도 및 전도수

• 전도 : 어떤 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나타나 있을 때 전도되었다고 말한다.

• 전도수 : 하나의 순열에서 나타나는 전도의 총 개수를 전도수라고 한다. 결국 인덱스가 얼마나 엉켜있는지를 의미한다.

원래 1 → 2 → 3 순으로 가야하지만 3 → 2 → 1로 되어있는 경우, 전도 수는 3 → 2 (1회), 2 → 1 (1회), 3 → 1 (1회)로 하여 총 3회가 된다. 참고로 숫자는 2개씩 비교한다.

2. 행렬식

n차 정방행렬 A에 대해 부호가 붙은 모든 기본 곱들의 합을 A의 행렬식(Determinent of A)라고 한다. 행렬식은 실수 값이므로, 실수로 대응시키는 함수와 동일하다.

행렬식은 행 또는 열 벡터의 종속(평행, 겹침) 또는 독립을 판단한다. Det(A)의 값이 0이면 벡터들이 종속이고, 0이 아닌 경우에는 벡터들이 독립한다.

참고로 선형독립일 수록 더 많은 공간을 표현할 수 있다. 이는 다른 방향으로 많이 뻗어 있기 때문이다.

2-1. 소행렬과 여인수

• 소행렬(Minor) : 행렬에서 i행 j열을 제거한 부분 행렬을 말한다.

• 여인수(Cofactor) : 소행렬의 행렬식에 부호를 붙인 값이다.

여인수의 부호는 i와 j의 합이 짝수이면 +이고, 홀수이면 -이다.

2-2. 여인수 전개

n차 정방행렬 A에 대한 행렬식 Det(A)는 임의의 i번째 행에 대한 여인수 전개, 또는 임의의 j번째 열에 대한 여인수 전개와 같다.

Laplace 소행렬식 전개라고도 하며, 행렬식은 재귀적인 정의 및 계산이라 볼 수 있다.

0이 많은 열 또는 행을 선택하면 행렬식을 더 쉽게 구할 수 있다.

2-3. Sarrus 법칙

행렬 A가 2차 또는 3차 정방행렬일 경우, Sarrus 법칙을 적용하여 행렬식을 구할 수 있다.

이 경우에 식으로 정리하면 Det(A) = (aej + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb)로 나타낼 수 있다.

3. 행렬식의 성질

행렬 A가 삼각행렬 또는 대각행렬이면 A의 행렬식은 주 대각선성분들의 곱과 같다.

n차 정방행렬 A와 B에 대해서는 다음과 같은 성질이 성립한다.

행에 대한 행렬식은 열에 대한 행렬식의 성질로 바꾸어도 항상 성립한다. 그리고 Det(A + B)은 Det(A) + Det(B)가 절대 될 수 없다.

정칙행렬에 대해서는 다음과 같은 성질이 성립한다.

기본행 연산에 대해서도 다음과 같은 성질이 성립한다.

가급적이면 행렬식을 구성하는 성분에 0이 많이 나올 수 있도록 치환한다. 주의할 점은 행렬식 계산에 적절한 것은 가우스 소거법(축약 사다리꼴)까지만 적용하는 것이다. 기약 사다리꼴은 여러 행 연산을 통해 1과 0 위주로 정리된 형태라 행렬식의 값이 바뀔 수 있기 때문이다.

행렬의 상수배에 대해서는 다음과 같은 성질이 성립한다.

4. 크래머 법칙

n × n 행렬이고 b가 n차원 벡터인 Ax = b의 선형방정식의 유일한 해를 구하는 데 적용하는 법칙이다. 해를 구하는 것보다 해의 수학적 성질을 조사하는 목적에 있다.

i번째 열 벡터 대신 b라는 열 벡터를 대입한다.

벡터의 내적은 벡터 두 개를 곱해서 하나의 숫자(스칼라)를 만들어내는 연산이다. 직각(수직) 판별 및 정사영 등에 사용된다. 내적은 실수값임을 잊지 말아야 한다.

1-1. 내적의 성질

2. 직교

직교(Orthogonal)는 벡터들이 서로 수직이라는 것을 의미하며, 결국 내적이 0이 된다.

3. 평행

두 벡터가 이루는 각의 크기가 0 또는 π일 때 두 벡터가 서로 평행하다.

4. 두 벡터의 유사도

두 벡터의 유사도 값이 1에 가까우면 두 벡터는 방향과 크기가 거의 일치한다. -1에 근접하면 크기는 같지만 방향이 반대이고, 내적이 0이면 두 벡터가 직교한다.

참고로 max 부분은 크기의 제곱 중 더 큰 것을 선택하면 되는 것이다.

5. 정사영 벡터

정사영 벡터는 최대 근사 벡터(값)을 의미한다. 어떤 벡터를 다른 벡터 방향 위로 그림자처럼 떨어트린 벡터라고 생각하면 쉽다.

선형결합(일차결합)은 벡터들을 어떤 스칼라(수)로 곱하고 더한 것을 말한다. 같은 차원이 여러 벡터들을 실수배하여 더한 식이다.

• 벡터(선형)방정식 : 선형방정식의 계수를 열벡터로 표현하고, 벡터 b를 선형결합으로 나타내는 것을 말한다.

선형방정식의 해를 구한다는 것은 열벡터들로 벡터 b를 어떻게 선형결합으로 나타낼 수 있는가를 찾는 문제와 동일하다.

2. 선형결합의 Span 표현

Span은 벡터들이 만들어내는 모든 선형결합의 집합을 의미한다.

해 공간을 설명할 때 연립방정식들의 해가 어떤 Span에 있는 것인지 확인하는 것이 중요하다. 만약 해가 Span 범위 내에 없다면 해가 없는 것이다.

반대로 어떤 해가 Span 범위 내에 속한다는 것은 벡터 방정식이 해를 갖는다는 것과 동일하다.

3. 벡터 및 행렬 방정식의 해

비동차선형방정식에서는 상수 b에 따라서 해의 위치가 달라진다. 그러나 해의 규모가 달라지는 것은 아니다.

• 특이해(Partifular Solution) : Ax = 0의 해를 p만큼 위치 이동 시킬 때, p를 특이해라고 한다.

비동차방정식에서 특이해를 포함하면 전체 해집합은 원점을 지나지 않는다.

4. 독립과 종속

벡터의 집합 중 하나를 이용해서 나머지 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다면 그것은 종속이다. 종속은 결국 어떤 것이 나머지로 만들어질 수 있는 즉, 겹치는 상태이다. 이와 달리 독립은 서로 겹치는 것이 없어 다른 방향으로 뻗어나가는 것이다.

어떤 벡터들의 선형 결합의 해가 모두 0이라면 서로 독립이자 일차독립(Linearly Independent)이다. 그러나 적어도 어느 하나가 0이 아닌 값을 가지면 서로 종속이자 일차종속(Linearly Dependent)이다.

참고로 벡터가 n차원 공간을 Span하려면 n개의 선형독립벡터가 필요하다.

4-1. 독립의 필요 충분 조건

동차선형방정식이 자명한 해를 가지는 경우, 행렬 A의 모든 열에 피봇이 존재한다. 모든 열에 피봇이 존재하면 독립이 된다.

이와 반대로 자유 변수가 존재하면 무수히 많은 해가 존재하고, 많은 해들 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로 종속이 된다.

1번의 경우, 영 벡터가 아닌 하나의 벡터는 독립인데, 이는 당연히 자기 1개뿐이라 독립이 될 수 밖에 없다. 4번의 경우, 예를 들어 3차원 공간에 벡터가 4개 존재하면 어떤 벡터가 나머지 셋의 조합이 될 수 밖에 없으므로 종속이 된다.

4-2. 독립 벡터 집합의 유일한 선형 결합

3차원의 표준 단위 벡터는 서로 독립이고, 3차원의 임의의 벡터 v는 두 벡터의 선형결합으로 유일하게 표현될 수 있다.

4-3. 독립과 관련된 정칙행렬의 성질

8번의 경우, 열 벡터들의 집합은 독립이라 서로 정보가 겹치치 않는다는 것을 의미한다. 9번의 경우, 최초 n개의 독립벡터들이 있어야 n차원의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것을 의미한다.

동차(질)연립일차방정식(Homogeneous System of Linear Equations) : 선형방정식에서 b=0인 방정식을 말한다.

동차선형방정식은 오른쪽의 상수항(절편값)이 모두 0이다. 항상 해가 존재하며, 상수항이 0이 아닌 방정식은 비동차선형방정식(Nonhomogeneous System of Linear Equation)이라 한다.

동차선형방정식은 항상 0인 해를 갖기 때문에, 적어도 하나 이상의 해가 반드시 존재한다. 전체 해가 0인 것을 자명한 해(Trivial Solution)이라고 하고, 자명하지 않은 해가 존재한다면 자명하지 않은 해(Nontrivial Solution)이라 한다.

동차선형방정식은 해가 무조건 존재한다. 다만 여기서 팁이 있다면, 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많다면 자명하지 않은 해가 있을 가능성이 매우 높다.

동차선형방정식은 각 방정식에서 변수들의 값이 0일 때 해가 되는 특성을 공통적으로 갖고 있어 동차선형방정식이라 한다.

2. 선형방정식과 역행렬

선형 방정식 Ax = b가 유일한 해를 가질 때, A의 역행렬을 구하고 이것을 이용해서 해를 구할 수 있다.

참고로 역행렬은 기본행 연산을 통해서, 혹은 여인수 전개를 통해서 구할 수 있다.

2-1. 기본행렬

기본행렬(Elementary Matrix)는 단위행렬 I에 기본행 연산을 한 번 적용해서 만든 행렬이다.

기본행렬은 항상 정칙이기 때문에 역행렬이 존재한다. 역행렬도 기본행렬이며, 행 연산을 행렬곱으로 표현할 수 있어 가우스 소거법에서 유용하다.

2-2. 정칙행렬의 성질

정칙행렬은 역행렬이 존재하는 정방행렬을 말하며, 정방행렬은 행과 열의 수가 동일한 행렬을 뜻한다. 정칙행렬의 성질은 다음과 같다.

사다리꼴 행렬(Row Echelon Form Matrix)은 다음과 같은 모양과 특징을 가진 행렬이다.

• 모든 원소가 0으로 구성된 행은 맨 아래의 행에 위치시킨다.

• 임의의 연속된 두 행에 대하여, 밑에 있는 행의 선두 운소는 위에 있는 행의 선두 원소보다 오른쪽에 놓여야 한다.

• 선두 원소가 있는 열에서 선두 원소 아래에 있는 모든 원소는 0이다.

선두 원소(Leading Entry)란 한 행의 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 원소를 의미한다. 그러므로 각 행의 선두 원소는 항상 존재한다.

2. 축약 사다리꼴 행렬

사다리꼴 행렬이 다음 조건을 만족하면 축약(기약) 사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon Form)이 된다. 여기서 '기약'의 의미는 더 이상 줄어들지 않는다는 의미이다.

• 사다리꼴 행렬의 1, 2, 3 조건을 모두 만족한다.

• 각 행의 선두 원소는 1이다.

• 선두 원소가 있는 열에서 선두 원소만 1이고 나머지는 0이다.

사다리꼴 행렬에서는 각 선두 원소 아래에 있는 수가 0이지만, 축약 사다리꼴 행렬에서는 각 선두 원소 아래뿐만 아니라 위에 있는 원소도 0이다.

기본행 연산을 유한 번 사용하면 임의의 행렬을 사다리꼴 행렬과 축약 사다리꼴 행렬로 만들 수 있다. 왼쪽은 사다리꼴 행렬이고, 오른쪽은 축약 사다리꼴 행렬이다.

3. 가우스 소거법, 가우스-조르단 소거법

임의의 행렬에 대하여 기본행 연산에 의하여 얻어진 사다리꼴 행렬은 그 모양(원소값)이 다양하다. 그러나 추가적인 기본행 연산에 의해 얻어진 축약 사다리꼴 행렬은 유일하다.

임의의 행렬을 사다리꼴 행렬로 변형하는 방법을 가우스 소거법(Gaussian Elimination)이라 하고, 다시 축약 사다리꼴 행렬로 변형하는 방법을 가우스-조르단 소거법(Gauss-Jordan Elimination)이라 한다.

4. 피봇

• 피봇(Pivot) : 행렬을 (축약) 사다리꼴로 변환했을 때 선두 원소의 위치를 의미한다.

• 피봇열(Pivot Column) : 피봇 위치에 해당하는 열을 의미한다.

동일한 행렬에 대한 사다리꼴 행렬의 형태가 다를지라도 선두 원소의 위치는 항상 같은 자리이다.

피봇이란 기본행 연산의 치환에서 다른 행의 원소를 0으로 만들기 위해서 사용되는 0이 아닌 원소의 위치(값)을 의미한다.

확대행렬을 사다리꼴 행렬로 바꾼 다음, 축약 사다리꼴 행렬로 바꾸면 해 집합을 구할 수 있다.

축약 사다리꼴 행렬은 각 피봇이 1이어야 하며, 각 피봇이 있는 열의 나머지 원소는 0이어야 한다.

참고로, 같은 행렬이 주어졌을 때 사다리꼴 행렬과 축약 사다리꼴 행렬의 피봇 위치는 동일하다. 축약 사다리꼴 행렬은 더 간단한 형태일 뿐이라서 그렇다.

4. 행 축약 알고리즘

• 가장 왼쪽의 0이 아닌 열을 찾고, 이 열을 피봇열로 정한다.

• 피봇열에서 0이 아닌 원소를 피봇으로 선택한다. 이 때 행의 교환이 가능하다.

• 선택한 피봇열의 피봇 아래에 있는 모든 원소를 0으로 만들기 위해 행 치환을 수행한다.

• 선택한 피봇과 그 위에 있는 모든 행은 다음 단계에서 제외한다. 남아있는 행에 대해 더 이상 수행해야 할 행이 없을 때까지 이 과정을 반복한다.

• (축약 사다리꼴 행렬 생성) 가장 오른쪽에 있는 피봇을 선택하여 위쪽과 왼쪽 방향으로 각 피봇의 위에 있는 원소를 0으로 만들기 위해 행 치환을 수행한다. 그리고 각 피봇의 값이 1이 아니면, 1로 만들기 위해 상수배를 수행한다.

5. 해 집합의 표현

• 기본 변수(Basic Variable) : (축약) 사다리꼴 행렬에서 피봇열에 대응하는 변수를 말한다.

• 자유 변수(Free Variable) : 기본 변수 외의 변수들을 말한다.

여기서 자유라는 말은 우리가 변수의 값으로 임의의 값을 선택할 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 실수 값이다.

선형방정식에서 해 집합 표현을 매개변수 표현(Parametric Description) 방식으로 전개할 수 있다.

선형방정식을 풀 때는 다음과 같은 원칙을 적용하면 된다.

• 선형방정식을 확대행렬로 변형한다.

• 기본행 연산을 사용하여 사다리꼴 행렬로 만든다.

• 만약 해가 존재하지 않으면, 알고리즘을 중지한다. 그렇지 않고 해가 존재한다면 다음 단계를 진행한다.

• 사다리꼴 행렬에 기본행 연산을 계속 수행하여 축약 사다리꼴 형태로 만든다.

• 축약 사다리꼴 행렬을 변수를 포함한 선형 방정식으로 변환하고, 각 기본 변수를 자유 변수로 표시하여 일반해를 구한다.